II. Mesure

Unités de mesures

Entrons maintenant dans le vif du sujet. Un fait souvent oublié est que les notations d'unité peuvent être traitées comme des nombres.

Surfaces

Ainsi pour l'unité de surface (x*y) en mètres (m) :
S = x m * y m = x * y m m = x * y m²

N.B. On ne place pas le signe de multiplication avant l'indicateur d'unité, ce signe est donc implicite.

Supposons maintenant qu'on veuille calculer le nombre N de briques de surface latérale de 75 cm² nécessaire pour construire un mur de 3 m² :
N = 3 m² / ( 75 cm² ) =
3 m m / ( 75 cm² ) =
3 * 100 cm * 100 cm / ( 75 cm² ) =
3 * 10.000 cm cm / ( 75 cm² ) =
3 * 10.000 cm² / ( 75 cm² ) =
NB : les unités de mesure au numérateur et dénominateur s'annulent comme des nombres :
30.000 / 75 = 400
NB : ce nombre de brique est dit "sans dimension" : aucune unité de mesure ne lui est associée.

N.d.A. Autre exemple : 1 µm² = 1 µ² m² = (10^-6)² m² = 10^-12 m²

Vitesse

Passons maintenant aux unités composées. Quelle est la vitesse moyenne en km/h atteinte par le recordman du monde du 100 mètres (9s58, Usain Bolt, 2009) ?

v = 100 m / 9,58 s
or 1 km = 1000 m ⇔ 1 m = 1 / 1000 km
et 1 h = 60 m = 60 * 60 s = 3600 s ⇔ 1 s = 1 / 3600 h
⇒
v = 100 * 1 / 1000 km / ( 9,58 * 1 / 3600 h )    ⇔
v = 100 / 1000 / 9,58 * 3600 km/h = 37,6 km/h

N.B. Il s'agit là de la vitesse moyenne. Or la vitesse de départ est de zéro ⇒ il y a une accélération conduisant à une vitesse maximale vers la fin de course. Cette vitesse de pointe atteinte par Bolt fut d'environ 45 km/h (PS : l'antilope et le guépard peuvent atteindre une vitesse de pointe d'environ 95 km/h : source).

Température

Le passage des mesures de température entre degrés Celsius et Fahrenheit se fait selon l'équation T ^C = ( T ^F - 32 ) / 1,8.

Angles

Radian. Par définition α = a radians ⇔ arc(α) = a * R (en unités de longueur de R) .

En particulier α = 1 radian ⇔ arc(α) = R : exprimer l'angle α en radians (rad) c'est donc l'exprimer par rapport à une unité correspondant à une longueur d'arc égale au rayon R.

Degré. Le degré est défini par rapport au radian et au nombre π ("Pi"). Soit C la circonférence d'un cercle de rayon R :
π = C / R / 2     ⇔
C = 2 * π * R
or par définition :
360 deg = C / R  rad    ⇒
360 deg = 2 * π  rad    ⇔
1 deg = π / 180  rad    ⇔
1  rad = 180 / π  deg ≈    ⇔
1  rad = 180 / 3,1416  deg = 57,3 °

Le tableau suivant résume les développements ci-dessus sous forme de règles de trois.

RAD	ARC	DEG
θ	θ * R	?
2 * π	2 * π * R	360
1	R	360 / ( 2 * π )
1	R=1	180 / π ≈ 180 / 3,1416 = 57,3

Un intérêt du radian, en liant toute grandeur d'angle à une longueur d'arc correspondante (pour un R déterminé *), est de faciliter la mesure des angles : on mesure la longueur de l'arc ⇒ on en déduit la taille de l'angle en degrés (alors que pour mesurer directement en degré il faut utiliser un rapporteur).

(*) Mais dans le cercle trigonométrique on suppose toujours R=1

Puissance et exposant

L'expression a² se lit "a exposant 2" ou encore "a puissance 2". Mais elle se lit aussi "a carré" car a² est la surface d'un carré de côté de longueur a. De même a³ se lit "a exposant 3" ou encore "a puissance 3". Mais elle se lit aussi "a cube" car a³ est la surface d'un cube d'arrête a.

La notion de puissance est illustrée dans nombre d'applications du monde physique :

• au 19° siècle Ludwig Boltzmann a démontré que tout corps chauffé émet de la lumière dont l'intensité est proportionnelle à la puissance quatre de sa température : I = c * T ⁴ exprimant ainsi une forte sensibilité de l'intensité lumineuse par rapport à la température du corps : quand on double la température l'intensité est multipliée par 2⁴=16.
• au 17° siècle Isaac Newton a montré que la lune est attirée par la Terre par une force (dite "gravitationnelle") proportionnelle à l'inverse du carré de la distance séparant les deux astres : F = C / d ² : si cette distance doublait cette force diminuerait d'un facteur 1/2²=1/4.
• la notation exponentielle (ou "scientifique") permet également d'exprimer simplement des grandeurs très élevées, telles que la vitesse de la lumière :
  c = 300.000.000 m/s    ⇔
  c = 3 * 100.000.000 m/s    ⇔
  c = 3 * 10⁸ m/s

Par définition de l'exposant :
a ^p_i = π ^p_i a

Règles de calcul :

• produit de puissances :
  π ⁿ ( a ^p_i ) = a ^{∑ n p_i}
  Exemple : ( a ^u * a ^v ) = a ^u+v
  Démonstration :
  π ⁿ ( a ^p_i ) =
  π ⁿ ( π ^p_i a ) =
  π ^p₁ a * ... * π ^p_n a =
  a ^{∑ n p_i}
  CQFD
  P.S. On peut alors démontrer que a ⁰ = 1 (sauf si a=0, dans lequel cas il y a indétermination) :
  a ^m * a ⁰ = a ^(m+0)    ⇔
  a ^m * a ⁰ = a ^m    ⇔
  a ⁰ = 1
  CQFD
• puissance de produit :
  ( π a ) ⁿ = π ( a ⁿ )
  Exemple : ( x * y ) ⁿ = x ⁿ * y ⁿ
  Démonstration :
  ( π a ) ⁿ =
  par définition de l'exposant
  π ⁿ ( π a ) =
  par commutativité du produit
  π ( π ⁿ  a ) =
  π ( a ⁿ )
  CQFD
• puissance de puissance :
  ( a ^m ) ⁿ = a ^{m * n}
  Démonstration :
  ( a ^m ) ⁿ =
  π ⁿ ( a ^m ) =
  par (5) :
  a ^{∑ n m} =
  a ^{m * n}
  CQFD
• quotient de puissance :
  a ^m / a ⁿ = a ^{m - n}
  Démonstration :
  a ^m / a ⁿ =
  π ^m ( a ) / π ⁿ ( a ) =
  π ^m-n ( a ) =
  a ^{m - n}
  CQFD
  Ce qui permet d'introduire la notion d'exposant négatif en posant m=0 dans (9) :
  a ⁰ / a ⁿ = a ^{0 - n}    ⇒
  par (6) :
  1 / a ⁿ = a ^{- n} qui est donc la définition de a ^{- n}.
  

Logarithme

Définition

Soit la fonction exponentielle y (x) = b ^x ou b est appelé "base de la fonction exponentielle", on appelle alors "fonction logarithmique en base b" la fonction log_b (y) = x. La définition du logarithme est donc (en simplifiant y (x) par y) :
y = b ^x   ⇔   log_b (y) = x

• L'opération de gauche à droite est appelée "passage au logarithme".
• Par convention lorsque b=10 on ne mentionne pas la base : log x = log₁₀ x

Autrement dit (en lisant l'équivalence de droite à gauche) : le logarithme en base b (log_b) d'un nombre y est la puissance en base b qui donne ce nombre y.

Fonctions réciproques. Les fonctions logarithme log(x) et exponentielle exp(x) sont réciproques, c-à-d que log( exp(x) )= exp( log(x) ) = x :

• exp( log(x) ) = x : en substituant la valeur de x du membre de droite de l'équivalence (10) dans le membre de gauche ⇒ y = b ^{log_b (y)} ;
• log( exp(x) ) = x : en substituant la valeur de y du membre de gauche de l'équivalence (10) dans le membre de droite ⇒ log_b ( b ^x ) = x.

Applications

Nous allons maintenant montrer l'utilité du logarithme pour (i) rendre possible la comparaison de mesures d'ordres de grandeurs très différentes ; (ii) faciliter le calcul du produit de grand nombres ; (iii) mesurer la perception auditive.

Ordre de grandeurs. Dans l'échelle de mesure suivante, dont l'unité est le mètre, on peut comparer un humain et un cétacé, mais on ne peut distinguer les corps d'ordres de grandeur inférieurs au mètre, ni mesurer ceux d'un ordre de grandeur dépassant la largeur de l'écran (ici un séquoia).

Pour résoudre ce problème il suffit de passer à la notation scientifique (ou notation exponentielle) des ordres de grandeur :

virus	~ 0,1 µm	10- 7 m
bactérie	~10 µm	10- 5 m
fourmi	~ 1 mm	10-3 m
souris	~ 1 cm	10-2 m
humain	~ 1 m	100 m
cétacé	~ 10 m	101 m
séquia	~ 100 m	102 m

Il suffit alors de passer au exposant pour obtenir l'échelle dite "logarithmique", qui est telle que 10 ^{- (n-1)} / 10 ^{- n} = 10 (rapport constant), alors que l'échelle précédente correspond à un rapport n / n - 1 (le rapport tend vers 1 lorsque n augmente).

Cette échelle fait bien appel à la notion de log. Ainsi prenons le cas de la fourmi : log(1mm)=log(0,001m)=-3 car 0,01=10^-3.

Simplification de calculs. La notion de logarithme a été développée au 17° siècle par John Napier pour faciliter les calculs impliquant des grands nombres (exemple : 3.5478.341 * 6.148.632). Cette technique de simplification exploite la propriété π ⁿ ( a ^e_i ) = a ^{∑ n e_i} (5) :

Soit 3.5478.341 = A et 6.148.632 = B    ⇒ par (5) :
log ( A * B ) = log (A) + log (B)    ⇒
pour calculer A * B il suffit de :
1. chercher log(A) et log (B) dans la table des logarithmes
2. calculer log (A) + log (B)     ⇒ on connaît log ( A * B )     ⇒
3. chercher log ( A * B ) dans la table de logarithmes
4. on trouve A * B à la même ligne de la colonne adjacente.
CQFT

Perception auditive. L'échelle logarithmique correspond à divers phénomènes naturels tels que l'audition. L'oreille humaine moyenne peut percevoir des intensités sonores comprises entre 10^-12 W/m² (noté I₀ et appelé "seuil d'audibilité) et 1 W/m² (appelé "seuil de dommage" : au-delà l'intensité commence à provoquer des lésions).

Mais l'intensité perçue par l'oreille humaine ne répond pas à la même dynamique que l'intensité mesurée par un appareil de mesure (microphone + sonomètre). Ainsi le graphique suivant montre que si la puissance de la source sonore est doublée la perception de cette variation par l'oreille est inférieure à ce facteur 2, et en outre cet effet d'amortissement (ou plutôt de saturation) augmente avec le niveau de puissance de la source. Le graphique suivant exprime cela de façon inverse : pour doubler la perception d'un son par l'oreille humaine il faut multiplier la source par un facteur croissant. Il apparaît que cette croissance est exponentielle : pour augmenter la perception de n à 2n la source doit augmenter de 10ⁿ (exemple : pour que la perception passe de 4 à 8 la source doit augmenter de 10⁴.

On peut alors concevoir une unité sonore spécifique à l'oreille humaine pour obtenir une échelle mesurant l'intensité perçue par l'oreille humaine. Pour ce faire on opère en deux phases :

1. Dans la seconde règle du graphique ci-dessous on exprime l'intensité sonore I en x unités du seuil d'audibilité I₀ : I = x * I₀ = x * 10^-12 W/m² :
   

   Notez les unités différentes (à droite en vert).

2. Dans ces conditions y = log x traduit le fait que l'intensité sonore perçue (y) répond de façon logarithmique à l'intensité sonore mesurée (x). L'unité de y est appelée "bel" (en hommage à Graham Bell), mais en pratique on utilise plutôt le dB : y = 10 log x [dB].

   

Comparons les intensités sonore de la voiture (V) et de la moto (M) :
40 = 10 (log x_V)
80 = 10 (log x_M)
⇔
x_V = 10 ⁴
x_M = 10 ⁸
⇒ par (9) :
x_M / x_V = 10 ⁴
Interprétation : alors que la puissance sonore mesurée du moteur de moto est 10.000 fois supérieur à celle de la voiture nous ne percevons qu'une différence par un facteur 80/40=2 (PS : quant à la différence, perçue ou mesurée, entre voiture et moto, c'est grâce à la longueur plus grande de son pot d'échappement que la voiture amortit mieux la pression acoustique émise par les pistons du moteur à explosion).

Propriétés

Si dans l'équivalence y = b ^x   ⇔   log_b (y) = x (10) on substitue la valeur de y du membre de gauche de dans le membre de droite, on obtient que :
log_b b ^x = x
c-à-d que le logarithme de l'exponentielle, c'est la fonction identité.

Et si dans cette même équivalence y = b ^x   ⇔   log_b (y) = x (10) on applique la fonction exponentielle à l'égalité de droite, alors on en déduit, par comparaison avec l'égalité de gauche, que :
b ^{log_b y} = y
c-à-d que l'exponentielle du logarithme, c'est aussi la fonction identité.

Logarithme et exponentielle sont donc des fonctions réciproques.

On obtient le graphe de la fonction log à partir de la fonction exp par deux rotations : 90° à sens horaire, puis 180° de bas en haut.

Les nombres négatifs ne font pas partie du domaine de la fonction log (exemple : -3 = 10 ^?).

Règles de calcul :

• logarithme d'un produit :
  En remplaçant p_i par log_b(p_i) dans π ⁿ b ^p_i = b ^{∑ n p_i} (5)    ⇒
  π ⁿ b ^{log_b p_i} = b ^{∑ n log_b p_i}    ⇒ par (13) :
  π ⁿ p_i = b ^{∑ n log_b p_i}    ⇔
  log π ⁿ p_i = log ( b ^{∑ n log_b p_i} )    ⇔ par (11) :
  log_b π ⁿ p_i = ∑ ⁿ log_b p_i
• logarithme d'une puissance :
  en remplaçant m par log_ba dans ( b ^m ) ⁿ = b ^{m * n} (8)     ⇒
  ( b ^{log_b a} ) ⁿ = b ^{n * log_b a}     ⇔
  a ⁿ = b ^{n * log_b a}     ⇔
  log_b a ⁿ = n * log_b a
• logarithme d'un quotient :
  en remplaçant m par log_bm et n par log_bn dans a ^m / a ⁿ = a ^{m - n} (9)     ⇒
  a ^{log_b m} / a ^{log_b n} = a ^{log_b m - log_b n}    ⇔
  m / n = a ^{log_b m - log_b n}    ⇔
  log ( m / n ) = log_b m - log_b n
• Soit
  x = a ^{log_a x}     ⇒
  b = a ^{log_a b}
  substitué dans :
  x = b ^{log_b x}     ⇒
  x = ( a ^{log_a b} ) ^{log_b x}     ⇔
  x = a ^{log_a b} * ^{log_b x}     ⇒
  égalité entre les membres de droite des 1° et 5° égalités ⇒
  log_a x = log_a b * log_b x
  En particulier si x=a ⇒
  log_a a = log_a b * log_b a
  1 = log_a b * log_b a     ⇔
  log_a b = 1 / log_b a

Enfin on notera que dans la pratique ce sont essentiellement trois bases qui sont utilisées : 10, 2 (notamment en informatique) et e=2,718281... (où log_e est noté ln et appelé logarithme népérien en honneur à John Napier).

Numération de position

La vidéo reproduit de manière fictive la mise au point d'une technique de comptabilité ("compter et enregistrer le résultat par une écriture") d'un cheptel de moutons, cela à une époque (4° millénaire av. J.C.) où l'écriture, qui venait à peine d'être inventée, se faisait sur des tablettes d'argile. Ce type d'enregistrement peut également servir dans le cas de contrats de vente.

Marquer sur la tablette un trait par mouton constitue un système de comptabilité assez primaire. N'étant fondé sur un vocabulaire composé que d'un seul symbole, il n'est pratique que pour un nombre limité de moutons/traits, au delà duquel la quantité écrite ne peut plus être lue par le cerveau humain mais doit être comptée (N.d.A : la limite se situant disons autour de six). Le seul véritable progrès à ce stade est que le comptage des moutons ne doit plus être fait en présence du cheptel, grâce cet l'enregistrement (pour autant que celui-ci soit à jour et sans erreur).

Pour améliorer ce système on va utiliser un outil de comptage portatif, en l'occurrence la main, dont les cinq doigts vont constituer un référentiel. Cette main, ou plutôt le nombre de doigts qui la constituent, vont être représentés par le signe |||| : une forme ancienne de notre chiffre 5 vient d'être ainsi inventée !

N.d.A. : |||| devient la représentation écrite de la quantité que représentent les doigts de la main, et peut donc être qualifiée de "chiffrement par regroupement".

Cette technique de comptabilité est clairement plus efficace : si par exemple l'information de quantité que le cerveau pouvait enregistrer en une fois (c-à-d lire sans compter) était de six avec la technique du trait unique, cette limite est désormais repoussée à 5*6=30 (quantité correspondant au nombre de doigts de six mains).

Cependant le nombre de paquets de cinq ne correspond pas nécessairement au nombre de moutons ⇔ il faut pouvoir également comptabiliser d'éventuelles unités restantes en nombre inférieur à celui d'un paquet.

Pour ce faire, on va marquer sur la plaque d'argile un long trait pour séparer l'écriture des paquets (à gauche) et des unités (à droite), de sorte qu'à gauche un paquet va pouvoir être représenté non plus par |||| mais par une "unité de cinq", et donc par un trait unique (cf. la "main arbre" supra). NB : cette innovation introduit donc la notion de position dans l'écriture de quantités, c-à-d dans la numération ⇒ le titre de la vidéo : "Numération de position".

Ainsi l'on repousse à nouveau la limite de lecture-vs-calcul, cette fois de 5*6=30 à 5*30=150 ! En effet, à gauche un paquet n'est pas un paquet d'unités mais un paquet de paquets : à gauche, |||| est l'équivalent de |||| |||| |||| |||| |||| à droite.

En outre ce principe de position peut être reproduit à une troisième colonne (cf. principe fractale de la "main arbre" supra).

Dans notre système de comptabilisation, désormais composé de trois positions et deux caractères (| et ||||), les unités de la colonne de gauche représentent 25 unités de la première colonne, tandis que la colonne centrale représente 5 unités de la première colonne. Par conséquent 27 moutons ne doivent plus être représentés par 27 traits, mais par seulement trois : un dans la troisième colonne et deux dans la première.

Visualisation intuitive : un trait de la colonne de gauche représente le nombre de doigts de la "main arbre" supra

NB : le nombre de traits dans une colonne sera toujours ≤4, car dès que l'on dépasse quatre on passe à la colonne suivante (vers la gauche). Et c'est évidemment dans cette limitation à quatre traits que réside la facilité de lecture. Ainsi la tablette ci-contre (fictive) acte un contrat passé entre Xavier et Thorgan, qui ont convenu d'échanger neuf moutons contre cinquante trois poulets.

Ce système de numération peut cependant être encore amélioré. On voudrait notamment trouver un moyen de supprimer les traits de séparation. Pour ce faire, sans semer la confusion, il suffit de deux opérations :

1. remplacer les traits d'unité verticaux par des traits obliques enchaînés, de sorte de /\ représente deux unités, \/\ représente trois unités, et \/\/ représente quatre unités ;
2. remplacer la représentation d'un colonne vide || par le signe 0.

Ainsi ll||lll s'écrira désormais /\0\/\ pour représenter notre 53 (NB : dans les trois cas on a bien 50+0+3).

Notre système de numération est désormais composé de cinq symboles : 0, |, /\, \/\, \/\/. NB : malgré que la main fut notre référence initiale, il n'est pas étrange qu'il n'existe pas de symbole de base pour le nombre cinq, car lorsque l'on dépasse quatre, c-à-d dès que l'on atteint cinq, on change de position : ainsi "cinq" s'écrit l0. Ce nombre qui détermine le passage à une position (colonne) supérieure, et qui est également le nombre de symbole du système, s'appelle la base du système de numération (nous sommes donc ici dans un système de base 5).

On peut en effet concevoir une infinité de systèmes de numération de position, chacun déterminé par sa base ! Ainsi nous allons voir que :
• la représentation du nombre cinq en base 10 (soit 5) s'écrit (l0) en base 5 ;
• le nombre dix en base 5 s'écrit /\0.

N.d.A. Par convention, la base utilisée pour mentionner l'ordre d'une base est la base d'ordre 10.

Notre système de numérotation (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) étant composé de dix symboles, nombre qui constitue le passage à une position supérieure, est donc de base 10. Ce système serait né en Inde, dont les perspicaces savants avaient remarqué que nous avions deux mains. Ainsi dans le système de notation avec les seuls traits verticaux, mais en base 10, le nombre vingt-quatre s'écrit ll|llll ⇒ dans notre écriture fictive /\ \/\/ ⇒ dans notre écriture arabe 24.

La dernière ligne du tableau suivant montre que lorsqu'on travaille avec diverses bases, on éviterait de possibles confusions si l'on utilisait des symboles spécifiques pour chaque base. Mais il faudrait pour cela connaître autant de séries de symboles qu'il y de bases différentes ...

	Base 5	Base 10
| l	ll | lll	l | lll
0 l /\ \/\ \/\/	/\ \/\	l \/\
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	23	13

La dernière base apparue est la base 2, qui est particulièrement adaptée au mode de fonctionnement des appareils électroniques (dont les ordinateurs), où l'absence de courant est associé au symbole 0, et la présence d'un courant au symbole I.

	Base 2	Base 5	Base 10
| l	l | l | | l | l	l | | ll	ll | lllllll
0 1	11011
0 1 2 3 4		102
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9			27