III. Géométrie

Trigonométrie

La somme des angles d'un triangle quelconque vaut 180° ou π rad.
Pour le démontrer géométriquement, il suffit de translater le triangle (c-à-d le déplacer parallèlement à lui-même) pour placer sa copie de sorte que les angles a du triangle supérieur et c du triangle inférieur forment 180° avec l'angle qui les séparent (cf. graphique ci-joint). Or celui-ci est nécessairement le troisième angle b puisque le triangle a été déplacé parallèlement à lui-même.

N.d.A. : autre démonstration. La somme des angles d'un rectangle vaut 4*90°=360° ⇒ la somme des angles de chacun des deux triangles dessinés par la diagonale représente 360°/2=180°. Or ce résultat est inchangé si l'on transforme ce rectangle en parallélogramme de même surface, et les deux triangles rectangles deviennent ainsi quelconques.

Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle :
R² = x² + y² .

Nous verrons une démonstration mathématique du théorème de Pythagore dans la section consacrée au produit scalaire (49). Mais on peut d'ors et déjà en faire une démonstration géométrique.

Voici une démonstration géométrique (cf. graphique ci-dessous), consistant en trois étapes :

1. la rotation de l'hypoténuse R correspondant aux surfaces x² (pour le petit côté adjacent de l'hypoténuse) et y² (pour le grand côté adjacent de l’hypoténuse) génère la surface R² ;
2. la surface R² pivote autour du même point pour inscrire son côté supérieur dans la surface y²;
3. les trois surfaces à l'extérieur de R² remplissent exactement les deux surfaces vides à l'intérieur de R² ⇔ la surface R² égale la somme des surface x² et y². CQFD.

N.d.A. On constate que le théorème de Pythagore est l'équation d'un cercle de rayon R, et centré sur le point (0,0) :
R² = x² + y²     ⇔
y = +/- √(R² - x²)
Et l'on obtient l'équation pour un cercle centré sur un point quelconque (a,b) en remplaçant x par x-a et y par y-b :
R² = ( x - a )² + ( y - b )²     ⇔
y = +/- √( R² - ( x - a )² ) + b

Par définition (⇒ ne se démontre pas), dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle est le rapport entre son côté opposé et l'hypoténuse :
sin(a) ≡ y / R
⇔ y = R * sin(a) : y est la projection de R par sin(a)
⇔ R = y / sin(a) : R est la projection de y par 1/sin(a)

Par définition, dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle est le rapport entre son côté adjacent (c-à-d celui qui le relie à l'angle droit) et l'hypoténuse :
cos(a) ≡ x / R
⇔ x = R * cos(a) : x est la projection de R par cos(a)
⇔ R = x / cos(a) : R est la projection de x par 1/cos(a)

Par (22) et (23) :
cos(a) = sin (b)    ⇒
par (19) :
cos(a) = sin (90-a)    ⇔
sin(a) = cos(90-a)

Loi de projection. On peut alors généraliser en disant que :

• tout côté adjacent de l'hypoténuse est la projection de celle-ci : soit par le cosinus de l'angle qu'il forme avec elle, soit par le sinus de l'angle opposé ;
• l'hypoténuse est la projection de chacun des autres côtés : soit par l'inverse du cosinus de l'angle qu'il forme avec lui , soit par l'inverse du sinus de l'angle opposé.

Loi des sinus : dans un triangle quelconque le rapport entre le sinus d'un angle et son côté opposé est identique pour les trois angles ⇒
sin(α) / a = sin(β) / b = sin(γ) / c .
Démonstration par (25) :
H = c * sin(β) = b * sin(γ) ⇔
H = c / sin(γ) = b / sin(β) ⇒
même principe en prenant un autre côté commé référentiel ⇒ CQFD.

Par (22) et (23) substitués dans (20) :
sin²(a) + cos²(a) = 1

Addition : soient a et b deux angles quelconques dans le cercle trigonométrique de rayon 1 :

• sin(a+b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)
• cos(a+b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)

Pour démontrer sin(a+b) on détermine un référentiel pour l'angle b, obtenu par rotation du référentiel de a par la valeur de a. On va alors projeter sin(b) et cos(b) sur l'axe des sinus dans le référentiel de a :
(i) le segment rouge continu est la projection du rayon R=1 par cos(b) c-à-d cos(b) ; par (24) sa projection sur le segment rouge hachuré vaut sin(a) * cos(b) ;
(ii) le segment bleu continu est la projection du rayon R=1 par sin(b) c-à-d sin(b) ; sa projection sur le segment bleu hachuré vaut cos(a) * sin(b) (PS : c'est bien l'angle a que l'on retrouve là car ses côtés sont perpendiculaires à ceux de a originel).

Nous verrons plus loin dans le cours que l'on peut démontrer ces propriétés algébriquement, plus simplement, en faisant appel à la fonction exponentielle.

Un cas particulier de (33) est :
cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)
or sin²(a) + cos²(a) = 1   (28)    ⇒
cos(2a) = 2 * cos²(a) - 1
cos(2a) = 1- 2 * sin²(a)

Même principe pour démontrer cos(a+b), mais cette fois ci on va projeter sin(b) et cos(b) sur l'axe des cosinus dans le référentiel de a :
(i) le segment fléché en violet est la projection de R=1 par cos(a+b);
(ii) le segment fléché en rouge est la projection de cos(b) par cos(a);
(iii) le segment fléché en bleu est la projection de sin(b) par sin(a) (PS : c'est bien l'angle a que l'on retrouve là car ses côtés sont perpendiculaires à ceux de a originel);
(iv) or on voit que le segment violet vaut le rouge moins le bleu.

Et en remplaçant b par -b on trouve facilement que :

• sin(a-b) = sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b)
• cos(a-b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)

Pour résoudre de nombreux calculs il est utile de connaître le sin et cos des "angles clés" que sont 30° et 45°.

Si a=30° alors son symétrique par rapport à l'axe X forme avec a un angle de 60° ⇒ comme il y a symétrie chacun des deux autres angles vaut donc (180-60)/2=60° ⇒ le triangle est équilatéral ⇒ les trois côtés valent 1 ⇒
sin(30) = 1/2
⇒ par (28) : 1/4 + cos²(30) = 1 ⇒
cos(30) = √3 / 2

Si a=45° alors par symétrie sin(45)=cos(45) ⇒ par (28) :
sin(45) = cos(45) = 1 / √2

Par définition, dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle α (exprimé en radians) est le rapport entre sin(α) et cos(α) :
tan(α) ≡ sin(α) / cos(α)
ou encore entre ses côtés opposé (y) et adjacent (x) :
tan(α) = y / x :
• tan(α) est la pente de l'hypoténuse
• y = x * tan(α) : y est la projection de x par tan(α)
• x = y / tan(α) : x est la projection de y par 1/tan(α)

Propriétés visuelles remarquables :
• si α petit ⇒ sin(α) ≈ α et cos(α) ≈ 1 tg(α) ≈ α
⇔ la droite verte de longueur tg(α) et la courbe noire de longueur α se confondent (ainsi pour de petits angles la tangente vaut l'angle exprimé en radians).

À partir du graphique précédent, en augmentant progressivement l'angle α à partir de 0π radian , on peut construire le graphique suivant.

On visualise ainsi :

• le rythme imprimé par les segments de π/2 ;
• l'explication algébrique du comportement asymptotique de la tangent, et de ses changements de signe, par l'égalité tg(α) = sin(α) / cos(α) ; NB : les sommets de la fonction tan() sont à l'infini, et correspondent à deux valeurs opposées (∞ et -∞ pour un même angle ...) ;
• la période de la tangente (soit π), qui est la moitié de celle des sinus et cosinus ; tan(α) = tan(π-α) = - tan(α - π) NB : de par la seconde égalité la fonction tangente est dite "anti-symétrique" ; exemple : tan(225°) = tan(225°-180°) = tan(45°) = 1 .

Vecteur

 1. Définition
 2. Addition et multiplication
 3. Produit scalaire

Définition

Un vecteur (par exemple un rayon d'une sphère) est déterminé par :

• une origine ;
• une grandeur (longueur, vitesse, force, ...) encore appelée "norme" ou "module" ;
• une direction ;
• un sens.

Dans un système de coordonnées cartésiennes de dimension n, un vecteur a^→ est déterminé par n grandeurs, appelées "composantes". Ainsi dans les deux graphiques ci-dessous le vecteur a^→ est déterminé par ses composantes (a_x, a_y). Ainsi défini, le vecteur peut être situé n'importe où, et déplacé par translation.

Le module de a^→ se calcule par le théorème de Pythagore (20) ⇒
|| a^→|| = √(a_x² + a_y²)
Par convention on écrit souvent simplement a au lieu de || a^→|| .

Module vs norme. On parle de module en cas de grandeur physique (avec unité, par exemple le Newton), et de norme dans le cas d'une grandeur grandeur mathématique (sans dimension c-à-d sans unité).

Addition et multiplication

Les coordonnés cartésiennes permettent de calculer les coordonnée d'une somme de deux vecteurs en additionnant leur composantes deux à deux : a^→ + b^→ = (a_x, a_y) + (b_x, b_y) = ( a_x + b_x , a_y + b_y )

Il en découle que la multiplication vectorielle, c-à-d le produit d'un vecteur par lui-même, se fait par multiplication des composantes par le facteur de multiplication : n * a^→ = ( n * a_x, n * a_y )

Il suffit alors de poser n=1 pour définir le vecteur opposé, et la soustraction vectorielle en changeant le signe de (42).

Géométriquement :

• a^→ + b^→ est le vecteur allant de l'origine de a^→ à l'extrémité de b^→
• a^→ - b^→ est le vecteur allant de l'extrémité de b^→ à celle de a^→
  
  Ainsi l'on pourra vérifier dans le graphique ci-contre que b^→ + (a^→ - b^→) = a^→

Vecteur
unitaire

N.d.A. L'addition et la multiplication vectorielle permettent de montrer que le vecteur position a^→ = ( a_x , a_y )
est tel que :
a^→ = ( a_x , a_y ) = a_x * 1_x^→ + a_y * 1_y^→
où 1_x^→ et 1_y^→ sont respectivement les vecteurs unitaires des axes X et Y.

Démonstration :
par définition de l'addition vectorielle :
a^→ = a_x^→  + a_y^→     ⇔
a^→ = (a_x,0) + (0,a_y)     ⇔
par définition de la multiplication vectorielle :
a^→ = a_x * (1,0) + a_y * (0,1)     ⇔
a^→ = a_x * 1_x^→ + a_y * 1_y^→
CQFD

Dont on retiendra également que :
1_x^→ = a_x^→ / a_x     ⇔
1_x^→ = a_x^→ / √(a_x² + 0²)     ⇔
1_x^→ = a_x^→ / ||a_x^→||

Le lecteur trouvera une application très explicite de la notion de vecteur unitaire dans le chapitre consacré au passage de la forme scalaire de la loi de Coulomb à sa forme vectorielle : cf. infra #loi-coulomb.

Produit scalaire

Application. L'image ci-contre illustre que pour amener la masse au sommet de la pente L ce n'est pas la force F qu'il faut contrer, mais celle-ci diminuée par l'aide apportée par cet "outil" qu'est la pente : plus cette pente est faible (c-à-d plus θ est grand) plus cette force aidante est grande ... mais le trajet aussi, de sorte que le travail effectué W = f * L (151) est identique.

N.d.A. Le graphique ci-contre permet de comparer les évolutions des vecteurs f^→ et A^→ (les composantes de F^→) lorsque θ augmente c-à-d lorsque la pente diminue (bleu ⇒ vert ⇒ rouge) : ||f^→|| diminue (à gauche du trait noir hachuré) tandis que ||A^→|| augmente (à droite du trait noir hachuré). Le vecteur A^→ = F^→ - f^→ est donc clairement une mesure du service fourni par la pente (mais qu'il faut "payer" par une distance plus longue). Physiquement cette aide s'explique par la perpendicularité de A^→ par rapport à la pente, exprimant le fait que sa structure empêche la masse de passer au travers d'elle. Géométriquement, en appliquant le principe de soustraction vectorielle F^→ - A^→ c-à-d "le vecteur allant de l'extrémité de A^→ à celle de F^→" (cf. supra #vecteur-addition-multiplication), on obtient bien le vecteur parallèle à la vente et dirigé vers le bas (f^→). Sa force opposée, donc orientée vers le haut, est celle qu'il faut exercer pour amener la masse en haut de la pente.

Le calcul trigonométrique nous montre que le module de ce vecteur n'est autre que la projection F * cos(θ) (cf. image précédente : ses côtés sont parallèles à ceux de l'angle θ). Il reste alors à multiplier celle-ci par la distance L pour obtenir le travail effectué. Et si la loi de conservation de l'énergie est vérifiée, c-à-d si :
W(h) = W(L)    ⇒
F * h = f * L    ⇔
F * h = F * cos(θ) * L    ⇔
h = cos(θ) * L
(qui est donc une façon de vérifier expérimentalement que la loi de conservation de l'énergie est vraie).

Formulation trigonométrique du produit scalaire de F^→ (vecteur "force") et L^→ (vecteur "déplacement") :
F^→ . L^→ = || F^→|| * || L^→|| * cos θ
c-à-d :
« le produit des modules des deux vecteurs, multiplié par le cosinus de l'angle que forment ces vecteurs ».
ou encore :
« le produit du module d'un vecteur par la projection sur lui du module de l'autre vecteur ».

N.B. Il ressort du membre de droite de (47) que le produit de deux vecteurs n'est donc pas un vecteur mais un nombre ! C'est pourquoi ce produit est dit "scalaire".

La formulation algébrique du produit scalaire de F^→ et L^→ se déduit de la formulation trigonométrique :
F^→ . L^→ = F * L * cos θ (47)     ⇔
F^→ . L^→ = F * L * cos ( φ - λ )     ⇒ par (33) :
F^→ . L^→ = F * L * ( cos φ * cos λ + sin φ * sin λ )     ⇔
F^→ . L^→ = F * cos φ * L * cos φ + F * sin φ * L * sin λ     ⇒
par (22) et par (23) (voir aussi graphique supra) :
F^→ . L^→ = (F_x, F_y) * (L_x, L_y) = F_x * L_x + F_y * L_y

: « le produit scalaire est donné par la somme des produits des composantes homologues ».

Interprétations physique du graphique. On notera la symétrie des deux projections : le produit du déplacement par la projection de la force dans la direction du déplacement est égal au produit de la force par la projection du déplacement dans la direction de la force. Le produit scalaire peut ainsi être vu comme la formulation générale du travail, c-à-d pour une force F exercée dans une direction quelconque par rapport à la direction du déplacement L. La formulation simplifiée W = F * L (151) correspondant au cas où ces deux directions sont parallèles ⇔ θ=0 ⇒ cos(θ)=1, ce qui est le cas de la chute libre. Enfin, en raison du principe de conservation de l'énergie, le travail effectué pour lever une masse d'une hauteur L est indépendant de la direction suivie pour aller de la hauteur initiale à la hauteur finale.

Commutatif :
a^→ . b^→ = a * b * cos(θ) = b * a * cos(-θ) = b^→ . a^→
CQFD
La démonstration est encore plus triviale à partir de la formulation algébrique du produit scalaire (48).

Distributif :
a^→ . ( b^→ + c^→ ) = a_x * (b_x + c_x) + a_y * (b_y + c_y)     ⇔
a^→ . ( b^→ + c^→ ) = a_x * b_x + a_x * c_x + a_y * b_y + a_y * c_y     ⇔
a^→ . ( b^→ + c^→ ) = ( a_x * b_x + a_y * b_y ) + ( a_x * c_x + a_y * c_y )     ⇔
a^→ . ( b^→ + c^→ ) = a^→ . b^→ + a^→ . c^→
CQFD

Non associatif car le produit de trois vecteurs ne fait pas sens puisque le produit de deux vecteurs est un nombre :
a^→ . b^→ . c^→ ≠ ( a^→ . b^→ ) * c^→ ≠ a^→ * ( b^→ . c^→ )

Notons enfin quelques valeurs ou propriétés remarquables :

• a^→ . a^→ = a * a * cos(0) = ||a^→||²
  or par la forme algébrique du produit scalaire (48) :
  a^→ . a^→ = ... = a_x² + a_y²    ⇒
  ||a^→|| = √(a_x² + a_y²)
  Nous venons donc de démontrer le théorème de Pythagore.

• Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires vaut zéro, puisque cosθ=0 si θ=π/2.

• Si θ>π/2 ⇒ cos(θ)<0 ⇒ a^→.b^→<0 : lorsque la projection de ||b^→|| sur ||a^→|| se fait dans la direction opposée de a^→ le produit scalaire doit être nul.
  
• On ne peut diviser par un vecteur. Autrement dit, il n'existe pas d'opération / b^→ qui serait l'inverse de . b^→ :
  • division d'un vecteur par un vecteur, telle que :
    • a^→ / b^→ = c^→     ⇔
      a^→ = c^→ . b^→
      ce qui ne fait pas sens puisque le membre de gauche est un vecteur alors que celui de droite est un scalaire.
    • a^→ / b^→ = c     ⇔
      a^→ = c . b^→
      or un produit scalaire multiplie un vecteur par un autre, et non un vecteur par un nombre ; en outre, même en écrivant :
      a^→ = c * b^→
      cela ne ferait pas plus sens puisque cette égalité signifie que a^→ et b^→ sont parallèles alors que dans l'égalité avec la division cela n'est pas le cas en toute généralité.
  • division d'un scalaire par un vecteur : a / b^→ :
    ne fait pas sens puisque, par définition de la division, cela signifierait qu'un vecteur rentrerait un certain nombre de fois dans un scalaire !

Produit vectoriel

 1. Définition et propriétés
 2. Calcul
 3. Interprétation géométrique

Définition et propriétés

En introduction illustrative du produit vectoriel, nous évoquons la notion de moment de force, qui n'est étudiée que plus loin dans la présente publication, car elle repose sur les concepts de force et de levier.

Soit un levier (en l'occurrence une clé) par rapport auquel est défini le moment de force (qui est un moment de torsion) τ = r * F * sin(θ) (156)
où r est la longueur du bras de levier, et F la force exercée sur ce bras.
Le moment de force exprime tout simplement la proportionnalité entre la force F*sin(θ) et la longueur du levier : en doublant celle-ci, on peut diminuer de moitié la force exercée sur lui (pour arriver au même résultat).

Dans l'image ci-dessus la clé est utilisée par une personne pas très douée, qui exerce sa force dans la direction F^→ plutôt que dans celle de la perpendiculaire à r^→

Ce modèle mathématique qui quantifie l'intensité (le "module" infra) de l'effort de torsion ne dit cependant rien sur le sens de rotation qui est induit par cet effort (en l'occurrence on ne sait pas si on serre on déserre). L'illustration géométrique ci-dessus donne certes la réponse, mais il reste à la formuler mathématiquement. Pour ce faire le modèle a été complété par un outil mathématique appelé "produit vectoriel", consistant à représenter τ, r et F par des vecteurs : τ^→ = r^→ x F^→ (NB : notez le "x" qui a remplacé le "*" de l'expression du module donnée par (156) ). Ainsi dans le graphique ci-dessus :

• l'origine du vecteur "bras de levier" r^→ représente le centre de rotation de la force, tandis que son extrémité représente le point d'application de cette force ;

• la direction du vecteur "force" F^→ est donnée par l'angle θ.

NB : étant maintenant représentées sous forme de vecteurs, les grandeurs r^→ et F^→ ne doivent plus nécessairement être dessinées à la suite l'une de l'autre, mais peuvent aussi bien être ramenées à une origine commune.

On va ainsi généraliser (156) sous forme vectorielle, en considérant des vecteurs quelconques à origine commune :
c^→ = a^→ x b^→ = || a^→|| * || b^→|| * sin(θ) * 1^→_⊥
Le produit vectoriel se lit « a croix b ».
où :
• 1^→, qui est un vecteur de longueur unitaire, convertit le nombre || a^→|| * || b^→|| * sin(θ) en vecteur;
• ⊥ indique que le produit vectoriel c^→ est perpendiculaire au plan constitué par ses composantes a^→ et b^→, et que le signe de 1^→ est déterminé par la règle de la main droite.

Règle de la
main droite

Ces conventions déterminent l'outil mathématique qu'est le produit vectoriel, qui repose sur la règle de la main droite. Celle-ci est est une convention qui permet de déterminer le sens du produit scalaire c^→ (c-à-d τ^→) : « quand le pouce de la main droite va dans le sens du vecteur c^→, alors le sens dans lequel se plient les autres doigts indique le sens de rotation dans lequel l'angle θ est mesuré (l'autre sens correspondant à 2π-θ), ou encore le sens de rotation de l'axe déterminé par c^→ ». Pratiquement : soit le produit scalaire a^→ x b^→ replier la main droite sur l'angle formé par a^→ et b^→, à partir de a^→, et dans le sens le plus court (NB : θ=2πθ) ⇒ le pouce indique le sens de c^→. Ainsi dans le premier graphique illustrant le moment de force on appuie vers le bas et on visse (ce qui est indiqué par le signe "plume de flèche" ⊗, la direction opposée étant indiquée par signe "pointe de flèche" ⊙).

• C'est donc au travers du vecteur unitaire 1^→_⊥, et surtout de son signe, que la règle de la main droite est exprimée dans la formule du produit vectoriel.
• Le produit vectoriel a^→ x b^→ = || a^→|| * || b^→|| * sin(θ) * 1^→_⊥ ne doit pas être confondu avec le produit scalaire a^→ . b^→ = || a^→|| * || b^→|| * cos(θ) : notamment parce que le premier est un vecteur tandis que le second est un scalaire (un nombre) ! N.d.A. : le produit scalaire peut se noter a^→ . b^→ ou a^→ * b^→.

Application

Force de Lorentz. Un exemple d'application du produit vectoriel est la force de Lorentz, c-à-d la force dite "magnétique" subie par une particule chargée dans un champ électromagnétique. Quand une charge électrique q se déplace à une vitesse v^→ dans le champ magnétique B^→ d'un aimant, elle subit une force :

f^→ = q * v^→ x B^→

Le graphique ci-joint montre comment la direction et le sens de f^→ sont facilement déterminés par la règle de la main droite.

Dans le cas particulier où la particule se déplace dans le sens du champ magnétique, l'angle θ est alors nul ⇒ son sinus également ⇒ le produit vectoriel q * v^→ x B^→ = q * v * B * sinθ * 1^→_⊥ également : la force électromagnétique subie par la charge est nulle.

On constate ici toute la puissance du produit vectoriel, permettant de décrire par un simple produit vectoriel, un phénomène aussi complexe que celui décrit ici.

Reprenons maintenant la situation de directions perpendiculaires entre charge et champ, mais d'un nouveau point de vue : cette fois en nous plaçant face au champ magnétique (NB : la "pointe de flèche" verte montre que le champ magnétique "sort de l'écran" dans notre direction). Le module de la force magnétique est f = q * v * B * sinθ où θ est l'angle entre la vitesse de la charge et le champ magnétique. Or comme on à posé θ=π/2 ⇒ sinθ=1 ⇒ f = q * v * B : la force exercée sur la charge est proportionnelle à la charge, sa vitesse, et à l'intensité du champ.

La force magnétique infléchit la trajectoire de la charge vers le bas, de sorte que cette trajectoire est courbée (la vitesse est donc inclinée vers le bas puisque la vitesse est toujours tangente à la trajectoire). Et comme par définition du produit scalaire la force magnétique f^→ est perpendiculaire à la vitesse ⇒ ( v^→ x B^→ ) . v^→ = 0 par (50) ⇒ le produit scalaire f^→ . v^→ = q * ( v^→ x B^→ ) . v^→ = 0. Or on peut démontrer (en faisant référence à la mécanique avancée) que f^→ * v^→ traduit l'énergie fournie à la charge. Le champ électrique n'induit donc pas d'énergie cinétique ⇒ la vitesse de la particule est constante (en module). Or comme q et B sont donnés ⇒ f = q * v * B est également constante ⇒ la trajectoire est infléchie de façon constante ⇒ la courbure est constante ⇒ la trajectoire de la charge forme un cercle. Si on introduit alors la notion de force centrifuge qui équilibre la force centripète f (cf. (147) ), on peut alors montrer que le rayon de courbure de ce cercle vaut R = M * v / ( q * B ) où m représente la masse de la particule. C'est grâce à la mesure de cette courbure que l'on peut identifier des particules élémentaires étudiées dans des laboratoires tels que le CERN. Si la particule est ralentie dans le détecteur ⇒ v ↓ ⇒ R ↓ ⇒ ce sont alors des spirales qui apparaissent jusqu'à former un point associé à la particule.

Commençons par préciser que, grâce à la règle de la main droite, le produit vectoriel n'est aucunement ambigu concernant le sens dans lequel un angle peut être mesuré : θ mesuré dans le sens anti-horaire = 2π-θ mesuré dans le sens horaire.

Mais sin(θ) = - sin(2π-θ) ⇒
a^→ x b^→ = || a^→|| * || b^→|| * sin(θ) * 1^→_⊥     ⇔
a^→ x b^→ = - || a^→|| * || b^→|| * sin(2π-θ) * 1^→_⊥

D'autre part rappelons que dans la définition du produit vectoriel a^→ x b^→ = || a^→|| * || b^→|| * sin(θ) * 1^→_⊥ (51) l'angle θ est calculé – et la règle de la main droit est appliquée – « de a^→ vers b^→ et dans le sens le plus court ».

Non commutatif. Il résulte directement de ce que nous venons de rappeler que :
a^→ x b^→ = - b^→ x a^→     ⇒
a^→ x b^→ ≠ b^→ x a^→
⇔ le produit vectoriel n'est pas commutatif ; en l'occurrence la propriété (53) est qualifiée "d'anti-commutativité", ou encore "d'anti-symétrie".

Valeur remarquable : a^→ x a^→ = 0^→ par (51) où θ=0.

Non associatif. Il résulte de (54) que :
a^→ x ( a^→ x b^→ ) ≠ ( a^→ x a^→ ) x b^→ = 0^→

Calcul

Calcul

À la fin de la vidéo "Le produit vectoriel, propriétés" nous avons vu que le calcul trigonométrique du produit scalaire est laborieux. Nous allons voir que son calcul algébrique est plus simple, grâce aux les propriétés du produit scalaire exposées supra.

Grâce aux propriétés (54) et de distributivité on va développer une règle de calcul du produit vectoriel. Une condition est que le référentiel orthonormé soit dextrogyre c-à-d tel que x^→ x y^→ = z^→ ⇔ règle de la main droite : quand on ferme les doigts de la main de x vers y, la direction indiquée par le pouce doit être celle de z ⇔ :

1^→_z = 1^→_x x 1^→_y
1^→_x = 1^→_y x 1^→_z
1^→_y = 1^→_z x 1^→_x

Dans ces conditions, il alors résulte de la définition du vecteur unitaire (45) que :
a^→ x b^→ = ( a_x * 1^→_x + a_y * 1^→_y + a_z * 1^→_z ) x ( b_x * 1^→_x + b_y * 1^→_y + b_z * 1^→_z )     ⇔
...     ⇔
a^→ x b^→ = ( a_y * b_z - a_z * b_y ) * 1^→_x - ( a_x * b_z - a_z * b_x ) * 1^→_y + ( a_x * b_y - a_y * b_x ) * 1^→_z

Il existe heureusement une notation mnémotechnique de (55), fondée sur la notion de déterminant (cf. infra #formule-generale-determinant) de a^→ x b^→ :

a^→ x b^→ =  

1→x	1→y	1→z
ax	ay	az
bx	by	bz

NB : on constatera que le changement du signe de 1^→_y dans le cas du croisement L1-C2 est cohérent avec l'application de la règle de la main droite à 1^→_x x 1^→_z.

Interprétation géométrique

Interprétations géométriques. Le graphique ci-contre reprend celui illustrant c^→ = a^→ x b^→ = || a^→|| * || b^→|| * sin(θ) * 1^→_⊥ (51), mais cette fois vu du haut. L'analyse géométrique révèle alors que le produit vectoriel correspond à la surface du parallélogramme construit sur les vecteurs a^→ et b^→ : a^→ x b^→ = S_ab * 1^→_⊥ où S_ab est donc le module du produit vectoriel.

Soit un vecteur quelconque c^→, il résulte de la propriété ci-dessus que le produit scalaire (par c^→) du produit vectoriel a^→ x b^→ :
( a^→ x b^→ ) . c^→ = S_ab * 1^→_⊥ . c^→ = S_ab * c * cos(φ) = S_ab * h
appelé "produit mixte" (et lu "a croix b fois c"),
représente le volume du parallélépipède quelconque (c-à-d pas nécessairement rectangle) du graphique ci-joint, dont la valeur se calcule à partir de (56) : ( a^→ x b^→ ) . c^→ =

1→x	1→y	1→z
ax	ay	az
bx	by	bz

. c^→ =

cx	cy	cz
ax	ay	az
bx	by	bz

On démontre cette égalité en remplaçant le déterminant du premier membre par un vecteur quelconque u^→ (= a^→ x b^→), puis en montrant que pour obtenir le produit scalaire de celui-ci avec c^→ il suffit de remplacer les coordonnée de 1^→ par celles de c^→ :

u_x * c_x + u_y * c_y + u_z * c_z
=
( u_x * 1^→_x + u_y * 1^→_y + u_z * 1^→_z ) . ( c_x * 1^→_x + c_y * 1^→_y + c_z * 1^→_z )
CQFD
⇒
( a^→ x b^→ ) . c^→ = c_x * ( a_y * b_z - a_z * b_y ) - c_y * ( a_z * b_x - a_x * b_z ) + c_z * ( a_x * b_y - a_y * b_x )

Équation de la droite

 1. Introduction à la géométrie analytique
 2. Équation paramétrique
 3. Équation cartésienne

Introduction à la géométrie analytique

Cette série de vidéos consacrées à l'équation de la droite commence par une question pratique précise : comment donner instructions à une imprimante 3D de tracer un "lieu de points" quelconque ?

Le graphique ci-contre en illustre deux :

• le segment vert d'équation :
  y = ( a_y / a_x = tgα ) * x
  0 < x < a_x
• le cercle rouge, que l'on peut formuler de deux façons :
  y = +/- √(3² - x²)     (21)
  -3 < x < 3
  On notera l'indication +/-, pour prendre en compte que y devient négatif dès que α dépasse π/2. C'est pourquoi on préférera généralement la formulation trigonométrique : y = 3 * sinα     (22)
  x = 3 * cosα
  0 < α < 2π

On constate une différence importante entre les deux formulations du cercle : la seconde fait apparaître un paramètre : l'angle α (c'est pourquoi elle est qualifiée de "paramétrique", la première étant la forme "cartésienne" car elle utilise les coordonnées cartésiennes).

Équation paramétrique

Soit deux points a et b définis par leur vecteurs position a^→ et b^→, le segment entre les points a et b est alors représenté par le vecteur b^→ - a^→ (44). De la même manière on peut définir le vecteur "courant" r^→ tel que :
r^→ = a^→ + λ * ( b^→ - a^→ )
λ ∈ [0,1]

Ainsi en faisant varier la valeur de λ on dessine le segment de droite entre les points a et b. Et l'on peut même dessiner un segment de longueur arbitraire en remplaçant la contrainte [0,1] par la contrainte correspondante. Il reste maintenant à déterminer les composantes (x,y) du vecteur courant r^→ :
x = a_x + λ * ( b_x - a_x )
y = a_y + λ * ( b_y - a_y )

Cependant, plutôt que par deux points, une droite peut être définie par un point et un angle, celui-ci étant déterminé au moyen d'un "vecteur directeur" v^→, de coordonnées (v_x,v_y) = (1,tgα), auquel la droite passant par le point doit être parallèle. Il suffit alors de translater ce vecteur directeur à la suite du vecteur a^→, où il va jouer le rôle du vecteur b^→ - a^→, de sorte que l'équation paramétrique :
r^→ = a^→ + λ * ( b^→ - a^→ )
devient :
r^→ = a^→ + λ * v^→
⇒ exprimée en fonction de composantes des vecteurs :
x = a_x + λ * v_x
y = a_y + λ * v_y

Équation cartésienne

Nous allons développer l'équation générale de l'équation cartésienne de la droite, à partir de sa forme paramétrique (que nous venons de développer supra, et où nous remplaçons ici a^→ = (a_x,a_y) par p^→ = (p_x,p_y) ). Pour cela on va substituer λ entre les deux égalités de (59) de sorte que l'on exprime y en fonction de x :
( x - p_x ) / v_x = ( y - p_y ) / v_y    ⇔
y = v_y / v_x * x + p_y - v_y / v_x * p_x

N.B. Il s'agit bien de la forme habituelle (qui n'est pas la forme générale) :
y = a * x + b
où
• a = v_y / v_x
• b = p_y - v_y / v_x * p_x

Mais cette forme n'est pas l'expression générale de l'équation cartésienne de la droite, car elle ne permet pas d'exprimer la droite verticale : en effet dans ce cas la pente v_y / v_x est infinie ⇒ (60) donne y = ∞ - ∞, qui est indéterminé. Pour contourner ce problème on multiplie les deux membres de (60) par v_x ⇒ on obtient l'équation cartésienne sous sa forme générale :
- v_y * x + v_x * y = - v_y * p_x + v_x * p_y

N.B. Qui est de type :
a * x + b * y = c
où
• a = - v_y
• b = v_x
• c = - v_y * p_x + v_x * p_y

Et l'on constate que cette forme générale de l'équation cartésienne permet bien de prendre en compte le cas d'une droite verticale c-à-d telle que v_x=0 ⇒ (61) donne x=p_x

La façon la plus simple de dessiner une droite à partir de son équation cartésienne a * x + b * y = c est de calculer le point ou les deux points d'intersection avec les axes X et Y : il suffit de poser x=0 et de calculer la valeur correspondante de y (=c/b), puis de poser y=0 et de calculer la valeur correspondante de x (=c/a).

Forme
vectorielle

On va maintenant développer une interprétation géométrique de l'équation cartésienne, sous forme vectorielle. Pour ce faire la contrainte imposée au vecteur "courant" r^→ relativement au vecteur "position" p^→ n'est plus le couple (paramètre λ, vecteur "directeur" v^→) mais un vecteur "normal" n^→ (perpendiculaire à la droite) :
• n^→ . r^→ = n^→ . p^→    ⇔
n * r * cos(φ) = n * p * cos(θ)
soit un produit scalaire signifiant que p^→ et r^→ on la même projection sur n^→.

Enfin soient : n^→ = (a, b), p^→ = (p_x, p_y) et r^→ = (x, y)
⇒ par (48) :
a * x + b * y = a * p_x + b * p_y

L'on peut alors comparer (63) à (61) pour constater que les coordonnées du vecteur normal n^→ = (a, b) ont remplacé les coordonnées (-v_y, v_x) ... qui sont bien celles du point déterminé par la rotation à 90° du vecteur directeur v^→ !

Cette forme vectorielle de l'équation paramétrique sera très utile pour le développement de l'équation du plan dans l'espace à trois dimensions.

Équation du second degré

Soit l'équation polynomiale de degré n :
∑_i=0ⁿ a_i * x ⁱ = 0

Si n=2 on obtient le polynôme du second degré a₀ + a₁ * x + a₂ * x², que l'on écrit plus souvent sous la forme a * x² + b * x + c (forme "standard").

Si a * x² + b * x + c = 0 est l'équation polynomiale du second degré, on pourrait se demander ce qu'est a * x² + b * x + c = d. La réponse est que « c'est également une équation polynomiale du second degré » :
a * x² + b * x + c = d    ⇔
a * x² + b * x + ( c - d ) = 0    ⇔

Résolution
algébrique

Pour trouver la solution de l'équation du second degré a * x² + b * x + c = 0, c-à-d exprimer x en fonction de la valeur des paramètres, n'est pas évident. Une première tentative conduit à :
x = √( - ( b * x + c ) / a )     ⇒
Comment faire passer le x de droite dans le membre de gauche ...?

Voici une méthode en quatre étapes pour y arriver :

1. isoler x :
   a * x² + b * x + c = 0    ⇒
   en posant : b * x + c = - h    ⇒
   a * x² - h = 0   ⇔   x = +/- √ ( h / a )
2. passer à la forme canonique :
   dans la relation biunivoque ci-dessus, on remplace x par x-e    ⇒
   a * ( x - e )² - h = 0   ⇔   x = e +/- √ ( h / a )
   
3. calculer les équivalences en e et h, entre formes canonique et standard :
   a * ( x - e )² - h = 0    ⇔    (← forme canonique)
   a * x² - 2 * a * e * x + a * e² - h    ⇒
   par comparaison avec :
   a * x² + b * x + c    (← forme standard)
   on voit que :
   b = - 2 a * e
   c = a * e² - h
   ⇔
   e = - b / ( 2 * a )
   h = a * e² - c =   ⇒   h = b² / ( 4 * a ) - c
   
4. Substituer les valeurs de e et h dans la solution canonique :
   x = e +/- √ ( h / a )     (64)
   x = - b / ( 2 * a ) +/- √ ( b² / ( 4 * a² ) - c / a )    ⇔
   x = [ - b +/- √ ( b² - 4 * a * c ) ] / ( 2 * a )
   PS : ces deux valeurs (notez le +/-) sont appelées "racines de l'équation du second degré".

Pour qu'une solution existe il faut que la partie en racine carrée soit non négative : b² - 4 * a * c ≥ 0 (car il n'existe pas de racine carrée d'un nombre négatif puisque tout carré est positif). Cette partie en racine carrée est appelée "discriminant" de l'équation (et notée Δ) car elle différencie les valeurs respectives des deux "racines" (on ne dit pas "solution" car c'est leur ensemble qui constitue la solution).

Interprétation
géométrique

Commençons par rappeler la différence entre le graphe y = a * x² + b * x + c (la courbe rouge, telle que x est en abscisse et y(x) = a * x² + b * x + c en ordonnée), et le cas particulier y = a * x² + b * x + c = 0 déterminant les deux "zéros" du polynôme (les deux points jaunes).

Poussons maintenant l'analyse géométrique en observant l'effet de divers paramétrages du polynôme, c-à-d l'effet de diverses valeurs des paramètres a, b et c (⇔ diverses valeurs des paramètres h, e et a de la forme canonique (64) ) sur le graphe de la fonction polynomiale y = a * x² + b * x + c. Commençons par le cas de référence, tel que b=c=0 (⇔ h=e=0) ⇒ y = a * x². Ensuite nous étudierons les cas où h puis e ne sont plus négatifs.

Le graphe suivant est illustre le cas de référence pour a=1/2.

Levons maintenant la restriction h=0 ⇒ y = a * x² - h. Nous voyons que cela correspond à un mouvement vertical de la parabole vers le bas.

On voit alors (graphique ci-dessous) apparaître les "zéros" de la fonction. L'équation canonique x = e +/- √ ( h / a ) (64) montre que la condition nécessaire est h/a ≥ 0 .

Levons maintenant la restriction e=0 ⇒ y = a * ( x - e )² - h, ce qui correspond à un mouvement horizontal de la parabole. Pour le comprendre il suffit de poser x=e ⇒ y=-h ⇔ la parabole se déplace horizontalement et vers la droite. Il en résulte que l'axe de symétrie est passé de x=0 à x=e.

On voit enfin que la valeur de a détermine l'ouverture de la parabole : plus a est grand, plus la valeur de y est élevée pour un x donné.

En résumé pour la forme canonique y = a * ( x - e )² - h :

• h détermine le minimum de la parabole, et donc le déplacement vertical ;
• e détermine la position de l'axe de symétrie, et donc le déplacement horizontal ;
• a détermine l'ouverture de la parabole.

Le graphique suivant exprime la situation cette fois en termes standards.

Distinguons dans la solution encadrée en vert les deux membres de l'addition/différence : le membre de gauche (-b/(2a) c-à-d e) détermine l'axe de symétrie, tandis que le membre de droite détermine l'ouverture de la parabole. Quant à la position du minimum de la parabole, elle est fonction du signe du discriminant Δ :

• Δ > 0 ⇔ minimum en-dessous de l'axe horizontal ⇔ deux "zéros"  ;
• Δ= 0 ⇔ minimum sur l'axe horizontal ⇔ un seul "zéro"  ;
• Δ < 0 ⇔ minimum au-dessus de l'axe horizontal ⇔ pas de "zéro".

Illustration

La trajectoire balistique d'un corps lancé dans l'espace en présence de gravitation est donnée par l'expression du graphique ci-dessous, qui est bien un polynôme du second degré. On notera le signe négatif lié à la gravitation g (puisque celle-ci est orientée vers le bas). Le signe du paramètre a dans y(x) = a * x² + b * x + c étant ainsi négatif la parabole est bien concave. Il y a cohérence entre formulation théorique et réalité physique.

On veut calculer l'endroit où placer le matelas, c-à-d la valeur de x correspondant à y=0. L'équation a * x² + b * x + c = 0 correspond donc à la problématique. La solution se trouve dans la valeur des racines dont nous avons calculé la formule. Les valeurs des paramètres g, v, φ et h étant connues, il en va de même pour les paramètres correspondants a, b et c. Il reste à calculer la valeur de x ... en veillant à utiliser les mêmes unités de longueur (PS : on notera à cet égard que la tangente n'a pas de dimension ⇒ ok pour x¹).

Mais il reste à interpréter correctement les résultats, c-à-d en fonction de la réalité physique. En l'occurrence il apparaît qu'une des deux racine est nécessairement négative (puisqu'on a placé le zéro des abscisse au niveau du canon) et ne correspond ici à aucune réalité physique.

On va enfin calculer la hauteur maximale H que le clown va atteindre afin de vérifier que le chapiteau est suffisamment haut. L'équation du second degré correspondant à cette problématique est :
a * x² + b * x + c = H     ⇔
a * x² + b * x + ( c - H ) = 0

Le graphique suivant montre que c'est évidemment au sommet de cette courbe que la hauteur est maximale. Or ce sommet correspond aux cas où il n'y a qu'une seule racine c-à-d tel que le discriminant est nul (NB : remplacer c par c'=c-H dans la formule du discriminant).

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