VII. Action à distance

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Màj : 22 mai 2022   –   # pages : 109 [?]
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Électricité

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 1. Applications techniques
 2. Loi de Coulomb
 3. Champ électrique

Applications techniques

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Nous avons évoqué les mécanismes notamment microscopiques de l'électricité. Ce phénomène peut être facilement observé à l'échelle humaine en frottant un objet de cuivre (forte affinité aux électrons c-à-d forte propension à les attirer) avec un chiffon de coton (faible affinité), ce qui va séparer les charges positives des charges négatives, et ainsi provoquer un transfert d'électrons du chiffon vers le cuivre. Le premier étant ainsi chargé positivement (puisqu'il a perdu des électrons à partir d'une situation de charge neutre) et le second négativement (puisqu'il a gagné ces électrons à partir d'une situation de charge neutre) une force d'attraction apparaît entre les deux au point que le chiffon peut rester collé à l'objet de cuivre. Ce phénomène est appelé "électrisation".

cu.gif

Ce bloc de cuivre forme un réseau cristallin, comme le NaCl, mais avec cette différence que la cohésion de ce cristal de cuivre est formé par la mise en commun des électrons périphériques, plutôt que par un transfert d'électrons (Na --> Cl : cf. supra #ions) : les électrons périphériques de chaque atome de Cu circulent librement entre ceux-ci, en exerçant ainsi un rôle de "colle" entre les atomes de cuivre, et en faisant de ce métal un bon "conducteur" (contrairement au bois ou au plastique, qui sont ainsi de bons isolants).

claquage.jpg

Claquage. Si le nombre de ces électrons "injectés" par l'électrisation devient très élevé, alors les forces de répulsion entre électrons peuvent avoir pour effet d'en éjecter. On observe alors un "claquage électrique" formant un "arc électrique", communément appelé "éclair".

Plasma. L'image ci-dessus est celle d'un lampe à plasma : la boule métallique baigne dans un gaz à l'état de plasma (ce qui ralentit l'effet de claquage). Un plasma est un état de la matière dans lequel les atomes ont perdu leurs électrons, de sorte qu'ils circulent au gré des forces qu'ils rencontrent. Nous avions évoqué le plasma dans la formation des étoiles et de la matière après le "big bang" (cf. #plasma). Des plasmas sont développés pour étudier le phénomène de fusion nucléaire.

pile-cu-zn.jpg

Le bâton cuivre est plongé dans une solution de sulfate de cuivre, et le bâton de zinc dans une solution de sulfate de zinc.

Une notion importante est "l'affinité" pour les électrons : ainsi on peut créer un courant électrique passant d'un bloc de zinc vers un bloc de cuivre, car l'affinité électronique du zinc est faible tandis que celle du cuivre est élevée (on peut dire aussi que les électrons sont plus attirés par le cuivre que par le zinc). C'est le principe de la pile, illustré dans l'image ci-contre (et que nous étudierons plus en détail dans le chapitre consacré au potentiel : nous verrons notamment pourquoi une pile s'épuise, mettant ainsi un terme au courant permanent qui y circulait).

Courant

Dans la plupart des centrales électriques on créé du courant électrique grâce à une propriété importante des aimants : quand des électrons passent dans le champ magnétique généré par un aimant leur trajectoire est déviée par une force magnétique perpendiculaire (électromagnétisme). Ainsi en faisant tourner des aimants autour d'un bobine de conducteur, on y créé un courant électrique. Ainsi une force mécanique (le rotor) créé de la force électrique par l'intermédiaire de la force magnétique [pour approfondir revoir l'illustration supra du produit vectoriel par la force de Lorenz (52)].

Les applications de courant électrique sont très nombreuses. En voici d'autres.

  • moteur-electrique.jpg

    Le moteur électrique c'est en quelque sorte l'inverse de la centrale électromagnétique : on fait passer un courant électrique au travers d'un câble baigné dans un champ magnétique, ce qui pousse vers le haut les électrons, et donc le câble dans lequel ils circulent. Un mécanisme peut alors exploiter ce mouvement du câble pour faire tourner un rotor, transformant ainsi une force électrique en force mécanique par l'intermédiaire de la force magnétique.

  • En faisant passer un flux d'électron ("courant électrique") au travers d'un fil de cuivre, ces électrons bousculent les atomes de cuivres provoquant ainsi leur mouvement, ce qui génère de la chaleur (radiateur électrique) ; au-delà d'une certaine température le fil de cuivre va chauffer à blanc c-à-d émettre de la lumière (ampoule électrique) ;
  • transport-energie.gif

    Dans l'animation ci-contre, la boule de gauche est chargée positivement et la boule de droite négativement ⇒ la première exerce une force répulsive sur la seconde. Si en outre la première effectue des mouvements de bas en haut, ceux-ci sont alors communiqués à la boule de droite. La force électromagnétique exercée par la première sur la seconde devient ainsi une onde électrique. C'est le principe de l'antenne : un mouvement de va et vient des électrons, généré le long de l'antenne émettrice, est transporté vers les électrons de l'antenne réceptrice.

Loi de Coulomb

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Forme
scalaire

La loi de Coulomb décrit la force électrique exercée entre deux charges q1 et q2 séparées par une distance r :
F(r) = kC * q1 * q2 / r 2
kC est la constante de Coulomb.

On notera la similitude avec la loi de gravitation universelle (que Coulomb connaissait), qui décrit la force de gravitation FG = G * m1 * m1 / r 2 (226), mais dont la constante de gravitation G est énormément plus petite que kC (la force électrique est beaucoup plus forte que la force gravitationnelle).

Coulomb se doutait que les grandeurs intervenant dans le calcul de F(r) étaient q1, q2, r et une constante. Il a pu déterminer (178) expérimentalement grâce à la balance à torsion.

Coulomb a ainsi pu mesurer que la force électrique (répulsive ou attractive) diminue avec le carré de la distance entre les corps chargés sur lesquels elle s'exerce :
F(r) = A / r 2
Ensuite il a mesuré, pour une distance r et une charge q2 données, le rôle joué par la charge q1 électrique sur la force électrique. Coulomb a ainsi observé une relation proportionnelle ⇒ il faut remplacer A par B*q2 :
F(r) = B * q2 / r 2
Mais en vertu du principe de conservation, la force, qu'elle soit répulsive ou attractive, est identique pour les deux charges q1 et q2 ⇒ il faut remplacer B par k*q1 :
F(r) = k * q1 * q2 / r 2
N.B. Le produit des charges est cohérent avec la propriété, à priori peu intuitive, de superposition de la force électrique : dans le graphique suivant la force électrique exercée par les trois protons de gauche ne se répartit pas sur les deux de droite, mais s'applique à chacun d'eux. Et cela on ne retrouve bien dans :
kC * 3qe * 2qe / r 2 = 6 * kC * qe2 / r 2

electricite-superposition.png

Le principe de superposition signifie donc que l'effet d'une charge q1 sur une charge q0 n'est pas influencé par l'effet d'une charge q2 sur la charge q0.

Enfin si une des deux charges est négative, alors il en de même de F(r), qui est bien alors une force d'attraction, en cohérence avec l'algèbre de l'électricité (cf. supra #algebre-electricite).

Quelle est l'unité (ou "dimension") [ kC ] de kC ? Si l'on écrit l'équation (178) en remplaçant tout par les dimensions on obtient :
N = [ kC ] * C2 / m2    ⇔
[ kC ] = N * m2 / C2    ⇒
Quelle est la valeur de kC ? Si q1=q1=1C et r=1m ⇒ on observe expérimentalement que F=8,99*109N ⇒ par (178) on en déduit que kC = 8,99 * 109 N * m2 / C2

C'est une valeur énorme au regard de la charge d'un électron qe = 1,6 * 10 -19 C ⇒ si l'on devait charger une bille de 10cm à 1C il y aurait tellement d'électrons dans cette bille que l'on observerait de très nombreuses expulsions d'électrons (éclairs). Si l'unité de charge qu'est le coulomb (C) est si grande, c'est parce qu'elle a été conçue dans le cadre de la force magnétique.

Vecteur
unitaire
radial

L'équation (178) n'est que la forme scalaire de la force électrique, et est donc incomplète. Il convient de pouvoir déterminer la direction dans laquelle la force s'exerce ⇒ il faut passer de la forme scalaire à la forme vectorielle. Pour ce faire il suffit de multiplier la forme scalaire par un vecteur unitaire, noté 1r (ou encore ur ou er selon les auteurs) : par (46) :
F = F * 1r     ⇒
F = kC * q2 * q1 / r 2 * 1r

force-coulomb-vectorielle.png

Comment calculer ce vecteur unitaire ? L'axe des forces électriques agissant sur les charges q1 et q2 passe par ces deux charges (leur centre de gravité). Or, par (44), le vecteur reliant celles-ci correspond à la définition de la différence de leurs vecteurs positions r1 = (x1, y1, z1) et r2 = (x2, y2, z2). Par conséquent, la distance r entre les deux charges, c'est la norme du vecteur différence :
r = || r2 - r1 ||
Par conséquent, le vecteur unitaire par lequel on va multiplier F c'est bien 1r. Celui-ci est défini par (46) :
1r = r / || r ||     ⇔
1r = ( r2 - r1 ) / || r2 - r1 ||     ⇔ par (42) et (41) :
1r = ( x2 - x1 , y2 - y1 , z2 - z1 ) / √ ( ( x2 - x1 ) 2 + ( y2 - y1 ) 2 + ( z2 - z1 ) 2 )
qui est donc le vecteur direction (en norme) de la force exercée en q2 ; ce vecteur est sans dimension (m/m=1).

N.d.A. En vertu du principe d'action-réaction (146), tout le raisonnement ci-dessus peut se faire arbitrairement par rapport à q1 ou q2. D'autre part, en restant ci-dessus dans le cas de la force F exercée sur q2, on a que :
- F =
kC * q2 * q1 / r 2 * - 1r =
kC * q2 * q1 / r 2 * ( r1 - r2 ) / || r1 - r2 || =
kC * q2 * q1 / r 2 * ( r1 - r2 ) / r =
kC * q2 * q1 / r 2 * - ( r2 - r1 ) / r =

coulomb-exercice.jpg

Application. Soit :
• q1= -2C ; q2= 1C
• r1 = (0, 0, -1)m
• r2 = (0, 4, 2)m

r2 - r1 = (0, 4, 3)
|| r2 - r1 || = √(42 + 32) = 5

1r = (0, 4, 3) / 5 = (0, 4/5, 3/5)     ⇒
F = 8,99 109 * 1 * -2 / 52 * (0, 4/5, 3/5) N     ⇔
F = (0, -0,58, -0,43) GN
NB : les signes des charges n'ont pas d'effet sur le vecteur unitaire, qui est donc indépendant de la nature attractive ou répulsive de la force.

transport-energie.gif

Vecteur unitaire radial. Le vecteur unitaire 1r est qualifié de "radial" (d'où l'indice "r") car si l'on déplace l'une des deux charges autour de l'autre, la force décrit le cercle correspondant. Le caractère radial du vecteur unitaire dans la loi de Coulomb est à la base de la notion de champ de forces électriques. Poursuivons donc notre cheminement : Coulomb scalaire ⇒ Coulomb vectoriel ⇒ champ de forces ...

Champ électrique

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triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : Le champ électrique
levitation.jpg

Lévitation d'une feuille de papier chargée.

Si je soulève un feuille de papier non rigide à l'aide d'une tige placée en travers d'elle et à égale distance des deux bords, les deux parties non soutenues par la force mécanique de la tige sont ballantes (N.d.A. : sauf si l'expérience est réalisée en apesanteur). Par contre si cette feuille est suffisamment électrisée elle pourra être maintenue en sustentation sur toute sa surface. On dit alors qu'elle subit un "champ de forces" (électriques).

Ainsi la force électrique se distingue de la force mécanique notamment par deux propriétés :

  1. la force électrique s'exerce à distance 
  2. la force électrique s'exerce sur l'ensemble d'un corps, alors que la force mécanique s'exerce sur des points d'application, et c'est précisément cette action d'ensemble qu'exprime la notion de champ électrique, via la notion de radialité.
charge-essai.jpg

La notion de "radialité" du vecteur unitaire est donc inhérente au champ électrique. Pour modéliser ce phénomène d'action d'ensemble à distance, on va accentuer la différenciation entre q1 et q2, qui deviennent q et q0. Cette dernière est appelée "charge d'essai", pour illustrer une multitude de positions relativement à q, de sorte que la variation du vecteur r0 - rq dans l'espace décrit un volume centré sur q : le champ électrique.

Pour définir le champ électrique E correspondant à la charge q, il faut donc que sa formulation décrive uniquement l'environnement de q, indépendamment de la charge d'essai q0. Cela conduit naturellement à définir simplement le champ électrique par :
E = F / q0     ⇔
NB : où F est la force exercée sur la charge d'essai q0 ; et ainsi en connaissant E et q0 on calcule facilement F.
E = kC * q * q0 / r 2 * 1r / q0     ⇔
E = kC * q / r 2 * 1r où [E]=N/C.

Pour exprimer une charge négative (q ou q0) on remplace le symbole de la charge par sa définition du nombre négatif : x < 0 ⇔ x = - | x |

  • si q > 0 ⇒ E est de même signe que 1r ⇒ le champ est extraverti (indépendamment du signe de la charge d'essai) ;
  • si q < 0 ⇒ E est de signe opposé à 1r ⇒ le champ est intraverti (indépendamment du signe de la charge d'essai).
champ-electrique-3D.png

Partie droite : si la charge d'essai q0 était positive alors le vecteur vert F serait orienté vers q, donc dans la même direction que E. Ainsi, alors que le champ est indépendant de la charge d'essai, la force exercée sur celle-ci ne l'est évidemment pas. Corrélativement la notion de champ ne s'intéresse pas aux forces subies par la charge q qui y est associée.

champ-plasma.jpg

La lampe à plasma évoquée plus haut pour illustrer le phénomène de claquage est une parfaite illustration du champ électrique, dont la radialité et la tridimensionnalité. Et l'on constate qu'il correspond à la situation de droite dans l'illustration précédente.

champ-electrique-calcul.png

Enfin le calcul de E est facile puisque c'est une version simplifiée de F, et où, par rapport au calcul applicatif de la fin de section précédente, r2 et r1 sont remplacés par r et rq :
• r - rq = ( x - xq , y - yq , z - zq )
• r = √ ( ( x - xq ) 2 + ( y - yq ) 2 + ( z - zq ) 2 )

Nous venons de modéliser la notion champ électrique d’une seule charge ponctuelle (champ coulombien). Nous allons maintenant modéliser la répartition du champ électrique généré par une paire de charges électriques. Pour ce faire nous considérons la force totale engendrée par ces deux charges q1 et q2 sur une charge d’essai q0.

champ-charges-multipes.png

NB : le module de F2 est plus petit, car q2 est plus éloignée de q0 (PS : les vecteurs verts sont partiellement recouverts par les bleus).

Le graphique ci-contre montre que le principe de superposition que l'on avait constaté pour les forces électriques, vaut également pour les champ électriques : par (181) :
F = F1 + F2 = q0 * ( E1 + E2 ) = q0 * E
(superposition : l'effet de q2 sur q0 n'est pas influencé par l'effet de q1 sur q0).
⇒ on retrouve :
E = F / q0

n-champs.jpg

Et le principe de superposition est évidemment applicable au cas de n particules positionnées arbitrairement :
E = ∑ nEi

Lignes
de champ

Ainsi si l'on calcule les champs d'un nombre suffisant de charges d'essai on verra apparaître les "lignes de champ" qui caractérisent la répartition spatiale du champ. Les deux graphiques suivants montrent le cas de deux charges positives et égales. Celui de droite montre que l'élaboration complète de gauche répond aux règles simples de la superposition, ainsi que de la symétrie.

champ-charges-positives.png champ-charges-positives-2.png

Dans le graphique suivant les deux charges sont toujours égales en valeur absolue mais de signes opposés (champ "dipolaire"). On observe encore ici les mêmes règles simples de la superposition et de la symétrie.

champ-dipolaire.png champ-dipolaire-2.png
H2O-dipole.jpg

Les champs dipolaires sont fréquents, notamment à l'échelle microscopique. C'est ainsi le cas de la molécule d'eau (H2O), où les électrons ont tendance à se concentrer sur l'atome d'oxygène, et laissent donc des charges positives sur les deux atomes d'hydrogène ⇒ concentration de charges positives d'un côté, et de charges négatives de l'autre. Le caractère dipolaire du champ électrique associé aux molécules de H2O explique leur état habituel sous forme liquide plutôt que gazeuse. Autre application, cette fois artificielle : dans une antenne un circuit électrique entretient un courant oscillant – c-à-d alternance de la répartition opposée des charges de signes opposés entre les deux extrémités – de sorte que celles-ci constituent un dipôle oscillant. Et c'est la nature oscillante du champ dipolaire généré par l'antenne, qui génère des ondes (dites électromagnétiques.)

Abstraction
mathématique

Dans le graphique ci-dessus considérons maintenant l'une des deux charges comme une charge d'essai (disons q2). Quel est alors la force exercée sur elle ? On pourrait être tenté de répondre à cette question en appliquant E = F / q0 (181) à q2. Mais justement : q2 n'étant pas la charge d'essai relative à un champ déterminé, il existe une infinité de E que l'on pourrait choisir pour calculer F à partir de (181) ⇒ la force exercée sur q2 est indéterminée ! Un tel calcul ne fait pas sens puisque, par définition même du champ électrique, la charge d'essai n'est pas reprise dans sa configuration. Autrement dit, on doit oublier le champ généré par la charge d'essai ⇒ il ne reste plus ici que q1 à considérer. Et comme on pourrait tenir le même raisonnement en intervertissant les rôles (q1 devenant charge d'essai) on doit en conclure que le champ électrique ne correspond à aucune réalité physique (ou, pour dire les choses plus prudemment : dans le cadre des connaissances scientifiques actuelles il est difficile de conclure que le champ électrique puisse correspondre à une réalité physique). En fait le concept de champ électrique, qui change selon la charge que l'on considère pour mesurer la force, n'est qu'un outil mathématique permettant de réaliser des calculs.

On peut enfin calculer des configuration de champs complexes, comme ci-dessous, avec même pour la configuration de droite une perte apparente de symétrie.

champ-complexes.png

Cependant dans la pratique la notion de champ est surtout utilisée pour caractériser des composants de circuits électriques tels qu'un condensateur, qui n'est autre qu'un couple de plaques de charges opposées (cf. champ dipolaire) ce qui génère un champ entre les plaques (qui va permettre de contrôler les courants et tensions dans le circuit). On notera à cet égard que le nombre de charges sur ces plaques est tellement élevé (des milliards voire des milliards de milliards) qu'il serait fastidieux d'utiliser E = ∑ nEi (183) pour réaliser ces calculs. Dans ce type d'application on utilisera alors d'autres méthodes de calcul. Ce qui nous conduit aux chapitres suivants ...

condensateur.jpg

Le condensateur d'un circuit électronique n'est autre qu'un assemblage de deux plaques constituant un champ dipolaire.

Loi de Gauss

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 1. Loi de Gauss : lumière
 2. Loi de Gauss : électricité
 3. Distribution de charge continue
 4. Forme locale et divergence
 5. Théorème d'Ostrogradski
 6. Méthode de Gauss : la sphère
 7. Méthode de Gauss : le cylindre
 8. Méthode de Gauss : le plan

Loi de Gauss : lumière

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triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : La loi de Gauss : Introduction

La lumière est faite de particules appelées "photons" qui avancent dans l'espace à la vitesse de 300.000 km/s. La perception continue que nous avons de la lumière est due au très grand nombre de photons qui la composent (une ampoule classique en émet des milliards de milliards par seconde).

Flux

Une source de lumière, par exemple une ampoule, est caractérisée notamment par le nombre de photons émis par unité de temps :
Φ = ΔN / Δt   (prononcer "phi")

Ce débit (ou flux), multiplié par l'énergie des photons, détermine la puissance de la source lumineuse.

Source interne. Supposons que cette ampoule est entourée d'une sphère de verre parfaitement transparente (c-à-d qu'elle laisse passer tous les photons). Soit ΦS le nombre de protons passant au travers de cette surface sphériqueΦ = ΦS (NB : Φ est le flux émis par la source, tandis que ΦS est le flux passant par la surface. On notera que cette mesure est indépendante de la taille et même de la forme de cette surface (dite "surface de Gauss") englobant la source lumineuse.

Source externe. Maintenant déplaçons cette surface de sorte qu'elle ne contient plus la source lumineuse ⇒
Φ > ΦS
et l'ont peut en outre distinguer :
• le flux sortant de ΦS, auquel par convention on attribue une valeur positive : Φs = |Φs| ;
• le flux entrant dans ΦS, auquel par convention on attribue une valeur négative : Φe = -|Φe| ;
or étant donné que par nature :
• ΦS = |Φs| - |Φe|     ⇒ par convention :
  ΦS = Φs + Φe
• si |Φe| > 0 ⇒ |Φs| = |Φe|     ⇒ par convention :
  Φs = - Φe     ⇒
  ΦS = Φe + Φs = 0

En résumé :

  • source interne à la surface de Gauss : le flux passant par la surface est égal à celui issu de la source : ΦS = Φ
  • source externe à la surface de Gauss : le flux passant par la surface est nul : ΦS = 0
Surface
ouverte

Maintenant plaçons-nous dans le cas de la source externe, et enlevons comme un couvercle la surface correspondant au flux entrant. La question qui se pose alors est de savoir ce que vaut ΦS, le nombre de photons passant au travers de cette surface ouverte.

La réponse n'est pas évidente puisque :
• la source n'étant pas interne ⇒ ΦS ≠ Φ ;
• la source n'étant pas externe ⇒ ΦS ≠ 0 ...

film-savon.jpg

Film de savon bordé par un contour tordu

N.B. Quand on parle de "surface ouverte" il faut entendre "surface limitée par un contour", ce qui n'est pas le cas d'une sphère, qui est une surface fermée sur elle-même, et ne définit donc pas de contour. Le soufflage de bulles de savon illustre parfaitement cette notion de surface ouverte : si l'on ne souffle pas trop longtemps/fort dans le cercle, la "bulle" non décrochée est encore ouverte. Et si l'on arrête alors de souffler, la forme presque totalement sphérique redevient le cercle plat déterminé par le contour de l'instrument. Cette presque bulle et ce cercle plat sont deux cas de "surfaces ouvertes".

Par convention on représente cette surface "en coupe", c-à-d coupée par un plan perpendiculaire à l'axe de vision ⇒ on obtient une ligne quelconque (une droite dans le cas du cercle plat orienté non parallèlement au plan).

comptage-photons.png

Densité
de flux

Supposons maintenant une source lumineuse émettant un faisceau parallèle. L'image ci-contre représente un volume ΔV contenant ΔN photons, passant à vitesse v au travers de la surface S pendant une durée Δt. D'autre part on suppose que la densité volumique des photons η = ΔN / ΔV est connue.

On a donc que :
• ΔV = v * Δt * S    (par (139) )
• ΔN = η * ΔV

ΔN = η * v * Δt * S
or par définition :
ΦS = ΔN / Δt     ⇒
ΦS = η * v * S

Ce résultat intuitif montre donc que l'intensité du flux sur une surface S est déterminée par le produit densité*vitesse, que l'on appelle la "densité de flux" :
F = η * v     ⇒
ΦS = F * S     ⇔
F = ΦS / S

La densité de flux mesure donc le flux par unité de surface. C'est la mesure de l'intensité de la lumière émise par la source.

comptage-photons-2.png

On va maintenant généraliser au cas d'une surface inclinée d'un angle θ (par rapport à la perpendiculaire au champ de photons). En outre cette surface est de forme carrée telle que S=L2. Le volume de Gauss devient donc :
ΔV = v * Δt * L * h    ⇔
ΔV = v * Δt * L * L * cosθ    ⇔
ΔV = v * Δt * S * cosθ    ⇒
ΔN = η * ΔV = η * v * Δt * S * cosθ    ⇒
ΦS = ΔN /Δt = η * v * S * cosθ    ⇔
ΦS = F * S * cosθ

Ainsi en comparant (186) et (187), cosθ (dont la valeur absolue est ≤ 1) apparaît comme un facteur de réduction de la surface suite à son inclinaison. En fait il s'agit de la réduction de la surface "de prise au flux". Ainsi si θ=π/2, plus aucun photon ne traverse la surface, et cos(θ)=0.

comptage-photons-3.png

Alternativement, en associant cosθ à v (ΦS = η * v * S * cosθ), on peut le voir aussi comme un facteur de réduction de la vitesse, car seule la composante normale (perpendiculaire à la surface) de la vitesse intervient dans le calcul du flux.

Cette remarque nous conduit naturellement à introduire la notation vectorielle : F = η * v de sorte que F caractérise le flux non seulement dans son intensité mais aussi sa direction.

F représente donc le champ vectoriel des photons.

vecteur-de-surface.png

Vecteur de
surface

Nous pouvons maintenant introduire une notion fondamentale de la loi de Gauss : le vecteur de surface S, normal à la surface (c-à-d perpendiculaire à celle-ci), et dont le module est cette même surface. Ce vecteur va permettre d'exprimer également l'orientation de la surface.

On arrive à cette notion de vecteur de surface en considérant que puisque θ est l'angle séparant F et S (tous deux sont perpendiculaires aux axes formant θ) on peut donc considérer ΦS = F * S * cosθ comme un produit scalaire (47) :

ΦS = F . S
S est appelé "vecteur de surface".

S * cos(θ) est donc la projection du module S sur la direction du flux F.

Surface quelconque. Étendons la généralisation en considérant maintenant une surface ouverte de forme quelconque. Ensuite découpons-là en damier de petites surfaces carrées telle que :
S = ∑n=1N ΔSn

vecteur-de-surface-2.png

Comme ces carrés peuvent être arbitrairement petits on peut alors approcher idéalement la surface ouverte quelconque. Chacun de ces petits carrés peut être représenté par son vecteur de surface, de sorte que leur somme est aussi vectorielle :
S = ∑n=1N ΔSn
⇒ on peut alors décrire le flux passant par chacun de ces petits carrés :
ΦΔSn = F . ΔSn
ΦS = ∑n=1NΦΔSn = ∑n=1N F . ΔSn    ⇔
ΦS = F . ∑n=1N ΔSn = F . S

On retrouve donc le même résultat que celui obtenu avec la surface carrée, de sorte que l'on peut faire le même type d'interprétation de cos(θ) : soit comme facteur de réduction de la surface suite à son inclinaison, soit comme facteur de réduction de F via la vitesse.

gauss-champ-non-uniforme.png

Champ non uniforme. Continuons la généralisation en considérant maintenant un champ non uniforme : la source émet maintenant dans toutes les directions, de sorte que F est variable sur la surface, ce que l'on va exprimer en le notant Fn. Mais alors la dernière égalité n'est plus valable car Fn ne peut plus être extrait de la somme puisqu'il dépend de n (et n'est donc plus constant) :
ΦS = ∑n=1NΦΔSn = ∑n=1N Fn . ΔSn

gauss-champ-non-uniforme-2.png

Si l'on perd en simplicité on gagne cependant en généralité car maintenant on va pouvoir supposer n'importe que forme pour la surface de Gauss ! Pour cela on va passer à la limite infinitésimale :
ΔSn → dSn    ⇒
ΦS = ∫s F . dS

NB : les indices n doivent être enlevés car ces dS sont en nombre infini, donc non énumérables.

forme-vectorielle-lapin.jpg
gauss-champ-non-uniforme-3.png

Notons que la formulation ci-dessus est minimaliste : sa notation complète (mais rare) est plutôt : ΦS = ∫s F(r) . dS(r). C'est en effet le vecteur position r qui détermine un point particulier sur la surface de Gauss, auquel correspond un vecteur de surface dS(r) d'inclinaison particulière par rapport au champ F(r).

Surface quelconque fermée. La surface de Gauss est fermée par définition. On le formule au moyen d'une notation spéciale de l'intégrale, dont le signe est maintenant affublé d'un petit cercle : ΦS = ∮s F . dS = Φ

Rappel : le flux émis par la source (Φ) est égal à celui passant par la surface (ΦS) dès lors que celle-ci englobe la source (185).

gauss-source-interne.png

Par convention les physiciens ont choisi que les vecteurs de surface d'une surface fermée sont sortants, que la source soit interne ou externe. Il en résulte qu'un flux sortant d'une surface fermée est toujours positif : car on a alors θ<π/2cos(θ)>0. En effet θ<π/2 puisque d'une part dS est perpendiculaire à la surface, et que d'autre part F ne peut former un angle supérieur à π par rapport à celle-ci, qui entoure la source.

N.d.A. Cette convention est la corollaire de la double convention Φe = -|Φe| et Φs = |Φs| ayant conduit à ΦS = Φe + Φs = 0 (185).

ggauss-source-externe.png

Le graphique ci-contre illustre le cas d'une source externe. Les produits scalaires (188) correspondant à la calote d'entrée (Φe) sont négatifs car leur θ>π/2 ⇒ leur cos(θ)<0. La limite de cette calotte correspond au passage des cos(θ) de valeurs négatives à positives c-à-d au passage de θ>π/2 à θ<π/2 de sorte que ce point de passage est tel que θ=π/2 c-à-d la perpendicularité entre les deux vecteurs F (tangent à la surface, et sortant de celle-ci) et dS.

N.B. Étant donné la forme quelconque de la surface fermée, si le nombre de photons est très faible on pourra avoir des mesures sur des dt telles que e| ≠ |Φs|. Cependant l'égalité Φe = - Φs est bien vérifiée en moyenne sur une certaine période.

Nous somme maintenant en mesure d'exprimer la loi de Gauss pour la lumière.

gauss-lumiere.png

Pour ce faire on va d'abord considérer deux sources à l'intérieur de la surface fermée. À un vecteur de surface dS sont donc associés deux vecteurs F1 et F2 tels que :
ΦS = ∮s ( F1 + F2 ) . dS    ⇔
ΦS = ∮s F1 . dS + ∮s F2 . dS    ⇔
ΦS = Φ1 + Φ2

Ce résultat est inchangé si l'on ajoute une source cette fois extérieure, et dont le flux est donc nul (185). Par conséquent la loi de Gauss peut être formulée généralement par :
ΦS = ∮s F . dS = ∑ Φint
où n'interviennent donc que les flux de sources internes à la surface de Gauss.

Considérons maintenant le cas d'une source lumineuse ponctuelle (que l'on peut voir comme une sphère de rayon infiniment petit) dont le débit de photons est Φ. Étant donnés ΦS=Φ (c-à-d connus) on veut calculer en tout point la valeur du champ vectoriel F( r).

Dans une première étape on considère que ΦS est une sphère de rayon r, et que Φ se situe en son centre. Dans ce cas les vecteurs de surface sont parallèles à leur densité de flux F (186) c-à-d que θ=0cos(θ)=1
ΦS = ∮ F(r) * dS
NB : ce n'est plus un produit scalaire : "*" a remplacé "."
et en outre les F(r) sont constants en raison de la symétrie du système ⇒
ΦS = F(r) * ∮ dS    ⇔
ΦS = F(r) * S    ⇔ par (86) :
ΦS = F(r) * 4 * π * r2
or
ΦS = Φ    ⇒
F(r) = Φ / ( 4 * π * r2 )    ⇒
F( r) = Φ / ( 4 * π * r2 ) * 1r
On exprime ainsi l'intensité lumineuse en fonction de la distance à la source. Et en particulier il apparaît que la densité de flux de photons est une " fonction vectorielle radiale (cf. 1r) en 1/r2 ".

Application. Le rapport entre l'intensité lumineuse à la surface du soleil et celle de la Terre vaut :
Φ / ( 4 * π * RS2 ) / ( Φ / ( 4 * π * RT2 ) ) = RT2 / RS2 = 150.000.000 / 700.000 ≈ 46.000
⇔ le rayonnement du soleil est donc environ cinquante mille fois plus élevé au niveau du soleil qu'à celui de la terre.

Cette configuration sphérique, pas sa symétrie, a considérablement facilité le développement aboutissant à (190) en rendant possible l'extraction de F(r) hors de l'intégrale, puisque dans cette configuration r est constant, et donc F(r) également par (178). Mais dans le cas d'un espace fermé ΦS de forme quelconque, ce n'est plus le cas, car r varie selon le vecteur de surface, et donc F(r). Dans cette situation, l'utilisation de (189) serait fastidieuse car le calcul intégral serait gigantesque. C'est là qu'intervient le théorème de Gauss, qui va démontrer que (190) demeure la solution de (189) même en cas de surface gaussienne quelconque !

surface-sphere.gif

Théorème
de Gauss

Pour ce faire la démonstration du théorème de Gauss décompose la sphère originelle en tubes de flux, tels que le flux de protons émis par le centre de la sphère ne passe que par l'entrée et la sortie des tubes, mais pas par leur parois, de sorte que le flux de protons Φ qui sort de l'ensemble de ces tubes est égal à celui qui y entre !

La première étape du développement du théorème de Gauss consiste à décomposer la surface de la sphère en un nombre N de sections hexagonales, dont la surface unitaire ΔS vaut donc ΔS = 4 * π * r2 / N. À chacune de ces ΔS correspond donc un flux Φ/N.

gauss-theoreme.png

Coupe transversale d'une sphère recouverte de tubes de flux de longueur variable. .

On peut alors considérer des tubes de flux de longueurs différentes, ainsi que des tailles arbitrairement petites pour les sections de surface ΔS (qui deviennent des dS, avec un N arbitrairement élevé) ⇒ la surface fermée entourant la sphère avec les tubes de flux peut être de forme quelconque.

D'autre part la loupe illustre le fait que le flux ΦS/N passant au travers de la surface noir est le même que celui passant au travers de la section d'un tube de flux (en bleu) (188). Par conséquent le flux ΦS qui passe au travers de la surface quelconque entourant la sphère avec les tubes de flux est égal à celui qui passe par l'ensemble des tubes, qui est lui-même celui passant par la sphère, soit ΦΦS = Φ où ΦS est une surface fermée de forme quelconque entourant la sphère dont le centre est la source de Φ.

N.d.A. La loupe montre également que l'on peut arbitrairement approcher la propriété de départ du cas symétrique de la sphère, à savoir que les vecteurs de surface sont parallèles à leur densite de flux F (186) c-à-d que : θ=0cos(θ)=1
ΦS = ∮ F(r) * dS
où ΦS est quelconque (et donc r variable)
or soit :
dS = 4 * π r2 / N     ⇒
ΦS = ∮ F(r) * 4 * π r2 / N     ⇒
si (190) est vrai pour ΦS quelconque ⇒
ΦS = ∮ Φ / N     ⇔
ΦS = Φ
ce qui est vrai ⇒ (190) est donc vrai pour ΦS quelconque.

On a ainsi démontré le théorème de Gauss :
F( r) = Φ / ( 4 * π * r2 ) * 1r   ⇔   ΦS = ∮s F . dS = Φ
qui, en démontrant la validité de la transformation de la relation "⇐" en "⇔", facilite grandement l'utilisation de ΦS = ∮s F . dS = Φ dans les cas où S représente une surface quelconque.

gauss-theoreme-2.png

Coupe transversale d'une sphère recouverte de tubes de flux de longueur variable.

Le théorème de Gauss est accompagné d'un complément qui concerne le cas d'une source externe à une surface fermée, laquelle est analysée comme un agrégat de tubes de flux. Or nous avons vu que dans le cas d'une source externe ΦS est nul (185).

Ce type de champ est appelé "à divergence nulle", concept intimement lié à la loi de Gauss, et qui traduit le fait que les photons traversent la sphère sans s'accumuler en son sein (ils la traverse à vitesse constante). C'est ainsi également le cas d'un champ électrique ou gravitationnel dans le vide.

Loi de Gauss : électricité

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#Gauss-electricite

Tous les phénomènes électro-magnétiques peuvent être décrits par le système d'équations de Maxwell (qui sort du cadre de ce cours) :

  • ∇ * B = 0
    exprime la conservation du flux magnétique (185) ;
  • ∇ * E = ρ / ε0
    exprime la distribution de charge continue de la loi de Gauss (199);
  • ∇ x E = - δB / δt
    exprime, avec l'équation suivante, le couplage (effet de boucle) entre champs électrique (E) et magnétique (B).
  • ∇ x B = μ0 * J + μ0 * ε0 * δE / δt

Le champ magnétique est plus souvent caractérisé par la densité de flux magnétique ou induction magnétique B exprimée en Teslas (T), que par son intensité H, ces deux grandeurs étant liées par la relation B = μ * Hμ représente la perméabilité magnétique du milieu.

Dans la présente section et la suivante nous allons montrer que la seconde équation correspond effectivement à la loi de Gauss, sous forme différentielle (alors que dans la section précédente on l'a développée sous forme intégrale).

Repartons du théorème de Gauss :
F( r) = Φ / ( 4 * π * r2 ) * 1r      ΦS = ∮s F . dS = Φ (191)

L'égalité de gauche correspond à certains phénomènes physiques, qui peuvent être modélisés mathématiquement sous forme de fonction radiale en 1/r2 par rapport à un point déterminé de l'espace. C'est le cas du champ électrique.

En fait il y a généralisation lorsque l'on passe de Coulomb (électricité) à Gauss (lumière) :

  • électricité : champ de Coulomb : champ électrique dû à une charge ponctuelle E = kC * q / r 2 * 1r (182).
  • lumière : champ de Gauss : champ de "densité de flux" de particules, émises par une source ponctuelle de débit Φ F = Φ / ( 4 * π * r2 ) * 1r (190)  et

N.d.A. : ne pas confondre le F de Coulomb, qui est la force électrique, et le F de Gauss, qui est le champ. Autrement dit : le champ de Coulomb E correspond au chams de Gauss F (densité de flux).

coulomb-gauss.jpg

Pour formaliser l'analogie entre ces deux équations il suffit de créer une variable
Φq = 4 * π kC * q
de sorte que (182) devient :
E = Φq / ( 4 * π * r 2 ) * 1r
qui ne diffère de (190) que par le remplacement de Φ par Φq (où l'indice q signifie qu'il s'agit d'une constante qui est proportionnelle à la charge électrique qui génère le champ).

Le champ électrique peut donc être vu aussi comme une densité de flux de particules, à tel point que les charges électriques sont parfois appelées "photons virtuels" (cf. théorie quantique des champs). On en déduit ainsi que le champ électrique obéit également à la loi de Gauss : ΦES = ∮s E . dS = ΦqΦES est donc le flux du champ électrique sur la surface fermée S. En particulier si la source est externe, alors le flux électrique net est nul par rapport à la surface fermée S.

gauss-puissance.jpg

Soulignons ici toute la puissance du théorème de Gauss (191) : en substituant l'égalité de gauche dans celle de droite, on obtient une intégrale :
ΦES = ∮s Φq / ( 4 * π * r 2 ) * 1r . dS     ⇒ par (47) :
ΦES = ∮s Φq / ( 4 * π * r 2 ) * cos(θ) * dS
où θ est l'angle entre le vecteur de surface (perpendiculaire à la surface par définition) et l'axe passant pas la source et l'origine du vecteur de surface ⇒ comme la surface globale est quelconque (non symétrique) ⇒ θ≠0 ⇔ cosθ≠1, et r et θ varient selon le ds. Il en résulte que le calcul de cette intégrale requiert un ordinateur ... mais le théorème de Gauss nous dit précisément que, même pour une surface quelconque, la solution est tout simplement Φq !

La notion de débit de photons virtuel étant abstraite, on note ΦES en fonction de q plutôt que de Φq :
ΦES = ∮s E . dS = Φq
devient, par (192) :
ΦES = ∮s E . dS = 4 * π kC * q

Permittivité

Cette version de la loi de Gauss fut en outre simplifiée par le chercheur autodidacte Oliver Heaviside, qui introduisit la notion de permittivité du vide :
ε0 = 1 / ( 4 * π * kC ) = 8,85*1012 C2/(N*m2)
, analogie avec la permittivité de l'air, qui est une propriété d'élasticité permettant d'expliquer la propagation des ondes acoustiques dans l'air ⇒
ΦES = ∮s E . dS = q / ε0
qui est la version moderne de la loi de Gauss pour le champ électrique.

De la même manière la forme moderne de la loi de Coulomb exprime le champ électrique en fonction de la permittivité ε0 plutôt qu'en fonction de la constante de Coulomb kC, de sorte que :
E = kC * q / r 2 * 1r     (182) devient :
E = q / ( 4 * π * ε0 * r 2 ) * 1r .

Électrodynamique

L'équivalence entre les lois de Coulomb et de Gauss ne concerne cependant que les phénomènes électrostatiques, c-à-d lorsque la charge à la source du champ est statique. Mais lorsque l'on considère que les charges ne sont pas fixes (ce qui est généralement le cas dans le monde physique), on doit prendre en compte le fait que cette dynamique ne se propage pas instantanément sur le champ (temps de propagation des photons virtuels). Or ce retard a pour effet de supprimer la propriété de radialité : le champ n'est plus dans l'axe situé entre la charge et le point de calcul. Il en résulte que la loi de Coulomb n'est plus valable. Par contre la loi de Gauss demeure valable dans le cas de charges non statiques.

champ-electromagnetique.gif

Cette animation montre que lorsqu'un corps chargé se déplace, le champ électromagnétique qu'il génère n'est pas déplacé en bloc mais de proche en proche [source].

gauss-charge-negative.jpg

Charges
négatives

Dans le cas du champ E généré par une charge négative -|q|, celui-ci est orienté vers la charge (cf. #champ-electrique). Et comme d'autre part les vecteurs de surface d'une surface fermée sont sortants par convention (cf. supra #vecteur-surface) ⇒
θ > π / 2   ⇒   cosθ < 0   ⇒ par (47) :
ΦES = ∮s E . dS < 0
On le démontre trivialement en remplaçant q par -|q| dans s E . dS = q / ε0 (194). La loi de Gauss vaut donc également pour les charges négatives.

Gauss-charges-multiples.png

Charges
multiples

La loi de Gauss devient :
s E . dS = ∑n qn / ε0
dont la démonstration est triviale :
ΦES = ∮s E . dS =
s ( ∑n En ) . dS =
ns En . dS =
n qn / ε0
CQFD

Gauss-charges-externes.png

Charges
externes

Enfin la prise en compte de charges externes est également triviale. Le graphique suivant illustre le fait que le champ généré par les charges externes modifie le champ généré par les charges internes. On montre que le résultat est cependant sans effet, en prenant le cas d'une charge externe qm :
ΦES = ∮s E . dS =
s ( ∑n En + Em ) . dS =
ns En . dS + ∮s Em . dS =
par (185) :
ns En . dS =
n qn / ε0
CQFD
Autrement dit, seules interviennent les charges internes dans la loi de Gauss, que l'on peut donc énoncer comme suit : « l'intégrale de flux d'un champ électrique sur une surface fermée est donnée par la somme des charges que contient cette surface, divisée par la permittivité du vide » .

Distribution de charge continue

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#Gauss-distribution-continue

Nous allons ici généraliser la loi de Gauss pour les distributions de charges continues. Cette notion est illustrée par une expérience d'électrostatique consistant à accumuler des charges de signes oppposés dans deux boules, jusqu'à ce qu'un certain seuil soit dépassé, provoquant un "claquage" : l'air s'ionise et créé ainsi le passage d'un courant d'une boule vers l'autre, ce que l'on observe sous la forme d'un arc électrique. On va étudier ici ce qui se passe dans ces boules avant le claquage : dans chaque boule la charge est statique de sorte que l'on peut appliquer la loi de Gauss.

À l'échelle microscopique les ions (+) du réseau cristallin constituant la matière métallique de la boule sont entourés d'électrons (-) en agitation thermique. Les ions sont également en agitation thermique mais beaucoup plus faible, de sorte qu'on peut les considérer comme relativement immobiles : il bougent autour d'une position d'équilibre, tandis que les électrons forment un nuage réparti dans l'ensemble du volume de la boule. Le mouvement des électrons n'est pas ordonné tant qu'il n'y a pas de courant. Mais en moyenne, dans le volume déterminé par la boule, on peut considérer que la position des charges est constante. Pour que cette condition soit vérifiée il suffit que le nombre de charges soit constant en moyenne. On est alors dans les conditions de la loi de Gauss : ensemble discret de charges statiques.

Formellement on doit préciser que seules les charges internes sont prises en considération : s E . dS = ∑nint qn / ε0

Cependant la réalité est dynamique plutôt que statique. Pour adapter le modèle à cette dynamique il faut introduire la notion de distribution de charges continue. Il s'agit de partitionner l'espace en petits cubes de volumes identiques ΔV, et dans lesquels les conditions de l'électrostatique (ensemble discret de charges statiques ⇔ ∄ courant) sont vérifiées en moyenne (notamment les sorties d'électrons hors de chaque cube sont compensées en moyenne par des entrées).

Ainsi à chaque ΔV est associée une quantité de charges (ions + électrons) ΔQ = ∑n  qn. Chacun des cubes est considéré comme chargé c-à-d de charge totale non nulle : #charges+ ≠ #charges-.

Gauss-distribution-continue.png

Densité
volumique

On introduit alors la notion de densité volumique de charge :
ρ = ΔQ / ΔV [C/m3] .

Pour exprimer le fait que ρ varie d'un cube à l'autre (et donc aussi ΔQ puisque ΔV est identique pour tous les cubes) on va identifier chacun de ceux-ci au moyen d'un vecteur position :
xm = ( xm , ym , zm )    ⇒
ρ(xm) = ΔQm / ΔV    ⇔
ΔQm = ρ(xm) * ΔV    ⇒
dans (197) on remplace alors le terme qn (représentant les charges élémentaires) par ΔQm (représentant la charge contenue par chaque cube) :
s E . dS = 1/ε0 * ∑mint ΔQm    ⇔ par (198) :
mintΔQm est la somme des charges contenues par les seuls volumes ΔV contenus dans l'espace déterminé par la surface fermée S
s E . dS = 1/ε0 * ∑mint ρ(xm) * ΔV
qui est une somme discrète ⇒ pour passer à la distribution de charge continue on va considérer que ΔV → 0ΔV = dV
• la variable discrète xm devient une variable continue x ;
• la somme discrète mint devient une intégrale VS, calculée sur le domaine du volume V enfermé par la surface S :

s E . dS = 1/ε0 * ∫vs ρ(x) * dV
où :
ε0 est la permittivité du vide (193)
ρ est la densité volumique de charge (198)

Gauss-distribution-continue-2.jpg

Lecture : le membre de gauche est l'intégrale d'un flux E sur une surface fermée ( ∮s ), tandis que le membre de droitre est l'intégrale d'une densité de charge ρ(x) dans un volume ( ∫vs ), ce volume étant celui contenu dans la surface fermée.

NB : les points situés entre la surface de Gauss (S) et la surface de l'objet de volume VS, c-à-d là où il n'y a pas de charge, sont tels que ρ(xm) = 0.

Forme locale et divergence

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#Gauss-local-divergence
triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : Loi de Gauss : forme locale

La forme continue de la loi de Gauss s E . dS = 1/ε0 * ∫VS ρ(x) * dV (199) n'est pas locale : elle met en relation des points de la surface fermée (membre de gauche) avec des points à l'intérieur de cette surface fermée (membre de droite).

Rappelons que, par ΦES = ∮s E . dS = q / ε0 (194), l'intégrale du membre de droite de l'égalité ci-dessus représente la charge électrique enfermée dans VS (le volume V circonscrit par la surface S).

Nous allons ici développer la version locale de la loi de Gauss : div(E) = ρ(x) / ε0
qui met en relation E et ρ(x) en un même point (déterminé par le vecteur position x), et implique la notion de divergence.

Pour passer de la version continue (199) à la version locale (204) on considère une surface fermée de forme cubique, que l'on réduit à un volume infinitésimal entourant un seul point.

Pour ce faire nous allons devoir faire ici une parenthèse sur le traitement des intégrales calculées sur de très petits intervalles. Commençons à une dimension (c-à-d une seule variable).

integrale-petit-interval.png

Le graphique ci-contre illustre le fait que lorsque l'intervalle δ tend vers zéro, le segment de la courbe f(x) qu'il détermine peut être considéré comme une droite. Dans ces conditions, le point situé au milieu de cet intervalle détermine deux triangles identiques :
• en vert au-dessus de la ligne horizontale hachurée, dans la partie droite de l'intervalle ;
• en blanc en-dessous de la ligne horizontale hachurée, dans la partie gauche de l'intervalle.

On voit alors que la valeur de l'intégrale limδ→0x0–δ/2x0+δ/2 f(x) * dx (la surface en-dessous de la courbe) est égale à la surface du rectangle δ * f(x0).

Ce résultat se généralise facilement au cas de deux dimensions : dans le graphique ci-dessus x0, point central de la base du rectangle dont la surface représente l'intégrale, devient dans le graphique suivant (x0,y0), point central de la base d'un parallélépipède rectangle dont le volume (membre de droite suivant) représente l'intégrale (membre de gauche suivant) : limS→0S f(x,y) * dS = δ2 * f(x0,y0)
dS=dx*dy

integrale-petit-interval-2.png
Fermons ici cette parenthèse sur le traitement des intégrales calculées sur de très petits intervalles, et revenons à notre démonstration du passage de :
s E . dS = 1/ε0 * ∫VS ρ(x) * dV : forme continue de la loi de Gauss ;
à :
div(E) = ρ(x) / ε0 : forme locale de la loi de Gauss.

La première partie de cette démonstration concerne le membre de droite de la forme continue : si l'espace fermé de forme cubique est réduit à un point (déterminé par le vecteur) x, alors ρ(x0) peut être sorti de l'intégrale :
limvS→0s E . dS = limvS→0 1/ε0 * ρ(x) * ∫VS dV    ⇔
limvS→0s E . dS = limvS→0 1/ε0 * ρ(x) * VS    ⇔
limvS→0s E . dS = 1/ε0 * ρ(x0) * δ 3

La seconde partie de la démonstration, plus longue et calculatoire, concerne le membre de gauche de la forme continue. S'agissant d'une intégrale de flux nous allons donc calculer ce flux sur toutes les surfaces du cube.

gauss-local.png

Commençons par celle du haut (NB : le dS ne représente pas celle-ci mais une surface infinitésimale) : nous la dénommons Sz car orientée en z
dS = dS * 1z   ⇒
sz E . dS =
sz E . dS * 1z =
sz E . 1z * dS =
sz Ez(x,y,z0+δ/2) * dS =
par (200) :
Ez(x0,y0,z0+δ/2) * δ 2

Passons maintenant à l'autre surface orientée en z. Elle est telle que :
dS = - dS * 1z   ⇒ ... ⇒
sz E . ( - dS * 1z ) =
...
- Ez(x0,y0,z0-δ/2) * δ 2

Passons maintenant aux deux surfaces orientées en y :
dS = dS * 1y   ⇒ ... ⇒
sy E . dS * 1y =
...
Ey(x0,y0+δ/2,z0) * δ 2

Et ainsi de suite de suite, de sorte que le calcul des six faces donne finalement que :
1/ε0 * ρ(x0) * δ 3 =
( Ez(x0,y0,z0+δ/2) - Ez(x0,y0,z0-δ/2) ) * δ 2 +
( Ey(x0,y0+δ/2,z0) - Ey(x0,y0-δ/2,z0) ) * δ 2 +
( Ex(x0+δ/2,z,y00) - Ex(x0-δ/2,y0,z0) ) * δ 2    
1/ε0 * ρ(x0) =
( Ez(x0,y0,z0+δ/2) - Ez(x0,y0,z0-δ/2) ) / δ +
( Ey(x0,y0+δ/2,z0) - Ey(x0,y0-δ/2,z0) ) / δ +
( Ex(x0+δ/2,z0,y0) - Ex(x0-δ/2,y0,z0) ) / δ

Or chacun des trois membres de cette somme n'est autre qu'une dérivée (partielle) "au centre", qui n'est qu'une variante de la traditionnelle dérivée (partielle) "à droite" : par (68) :
df(x) / dx =
limδ→0 ( f(x+δ) - f(x) ) / δ =
limδ→0 ( f(x+δ/2) - f(x-δ/2) ) / δ

de sorte que :

1/ε0 * ρ(x0) =
∂Ex / ∂x |x0,y0,z0 + ∂Ey / ∂y |x0,y0,z0 + ∂Ez / ∂z |x0,y0,z0
(NB : les delta ronds spécifiques aux dérivées partielles.)
qui est bien la version locale recherchée, exprimant x0 en fonction de (x0,y0,z0) ⇔ ρ et E ne sont considérés qu'en un seul point de l'espace. Et comme celui-ci peut se situer n'importe où dans l'espace, le zéro est en fait inutile ⇒
1/ε0 * ρ(x) =
∂Ex / ∂x + ∂Ey / ∂y + ∂Ez / ∂z ≡ div(E)

Divergence

Cette somme des dérivées partielles des composantes d'un champ est appelée "divergence du champ" et notée div(E) (E pour le champ électrique, F quand le type de champ n'est pas spécifié).

Or nous avons d'autre part que :
1/ε0 * ρ(x) =
1/ε0 * ρ(x) * δ 3 / δ 3 =
par (201) :
limVS→0 1 / δ 3 * ∮s E . dS    
limVS→0 1 / VS * ∮s E . dS = ρ(x) / ε0 = div(E)

qui est donc la forme locale de la loi de Gauss. Son interprétation physique s'énonce comme suit : « la divergence en un point représente le flux normalisé du champ vectoriel sur une surface fermée de taille infinitésimale entourant ce point ("normalisé" signifiant ici "divisé par le volume enfermé par la surface fermée") ».

On notera qu'en supprimant le passage à la limite et en faisant passer VS dans le membre de droite on retrouve l'interprétation de la loi de Gauss sous sa forme intégrale :
s E . dS = 1/ε0 * ρ(x) * VS    ⇔
s E . dS = 1/ε0 * ρ(x) * ∫vS dV (199)

divergence.jpg

Observons enfin la différence entre définition mathématique (générale) et interprétation physique (particulière) de la divergence :

  • div(E) ≡ ∂Ex / ∂x + ∂Ey / ∂y + ∂Ez / ∂z (203) est la définition strictement mathématique de la divergence ;
  • div(E) = limVS→0 1 / VS * ∮s E . dS = 1/ε0 * ρ(x) (204) en est une interprétation physique.

Cas particulier : dans le vide il n'y a pas de charge (par définition du vide) ⇒
ρ(x) = 0div(E) = 0 (cf. supra l'évocation de la divergence dans la démonstration du théorème de Gauss (191) ).

Application. Soit le champ :
E(x,y,z) = a * y2 * 1x + 2 * a * x * y * 1y    ⇒
où :
• ∂(a*y2)/∂x = 0
• ∂(2*a*x*y2)/∂y= 2 * a * x
⇒  par (203) :
div(E) = 2 * a * x    ⇒
ρ(x) = ε0 * div(E) = ε0 * 2 * a * x

Nabla. On obtient enfin la forme la plus fréquente de la loi de Gauss en introduisant la notion de nabla (∇), qui correspond à la formulation du gradient (80) sans mention de fonction :
= ∂ / ∂x * 1x + ∂ / ∂y * 1y + ∂ / ∂z * 1z

⇒ soit :
E = Ex * 1x + Ey * 1y + Ez * 1z     ⇒ par (48) :
. E = ∂Ex / ∂x + ∂Ey / ∂y + ∂Ez / ∂z    ⇒  par (203) :
div(E) = ∇ . E

. E = 1/ε0 * ρ où :
ε0 est la permittivité du vide (193)
ρ est la densité volumique de charge (198)

Théorème d'Ostrogradski

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#Gauss-Ostrogradski
triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : Théorème d’Ostrogradski

Ce théorème, qui relie flux et divergence, énonce que « l'intégrale de flux d'un champ vectoriel F sur une surface fermée F est donnée par l'intégrale de la divergence de ce champ sur le volume VS enfermé par cette surface » : s F . dS = ∮vS div(F) * dV.

La démonstration s'obtient à partir du système d'équation exprimant le passage de la forme continue à la forme locale de la loi de Gauss:

continue :
s E . dS = 1/ε0 * ∫VS ρ(x) * dV (199)
locale :
div(E) = ρ(x) / ε0 (204)

En isolant ρ(x) dans (204) et en le substituant dans (199) ⇒ annulation des deux ε0
s E . dS = ∮vS div(E) * dV
CQFD

On note le champ E dans le cas du champ électrique, et F lorsqu'on ne spécifie pas de quelle type de champ il s'agit.

Comprenons bien le caractère étonnant du théorème d'Ostrogradski :
s F . dS = ∮vS div(F) * dV
: alors que le membre de droite concerne tous les points constituant le volume, le membre de gauche ne concerne que les valeurs de F à la surface de ce volume. Il en résulte un fait à priori contre-intuitif : quelle que soit la situation (orientation) des champs à l'intérieur du volume – situation qui détermine la valeur de div(F) – l'intégrale de ces div(F) est constante (et vaut la valeur donnée par le membre de gauche).

Nous allons montrer que la nature a priori contre-intuitive de ce résultat n'est qu'apparente. Mais avant il est utile d'approfondir notre compréhension intuitive de la divergence, en montrant que son interprétation physique :
div(F) = ( limVS→0 1 / VS ) * ∮s F . dS (204)
recouvre bien sa définition mathématique :
div(F) ≡ ∂Fx / ∂x + ∂Fy / ∂y + ∂Fz / ∂z (203).

ostrogradski.png

Pour ce faire on va prendre le cas de la composante en x de la définition mathématique. À celle-ci correspondent les deux faces du cube orientées en x. La somme des flux passant par ces deux faces est donnée par (202) :
∫  2sx F . dS = Fx(x+δ/2,y,z) * δ2 - Fx(x-δ/2,y,z) * δ2    ⇔
∫  2sx F . dS = [ Fx(x+δ/2,y,z) - Fx(x-δ/2,y,z) ) ] * δ2    ⇔
∫  2sx F . dS = [ Fx(x+δ/2,y,z) - Fx(x-δ/2,y,z) ) ] / δ * δ3    ⇔

où l'on constate que la partie surlignée en jaune correspond bien à la définition d'une dérivée (centrée) : le différentiel de valeur d'une fonction entre deux points séparés d'une distance δ, divisé par δ (de sorte que le δ2 du numérateur devient δ3). Quant à y et z, ils sont constants : on circule sur la ligne reliant les trois points x-δ/2x, x et x+δ/2.

Pour passer à la surface totale du cube il faut prendre en compte les deux autres paires de surface, orientées en y et z. Cette généralisation est triviale puisqu'il y a symétrie en x, y et z ⇒
s F . dS = [ ∂Fx / ∂x + ∂Fy / ∂y + ∂Fz / ∂z ] * Vs    ⇔
1/Vs * ∮s F . dS = [ ∂Fx / ∂x + ∂Fy / ∂y + ∂Fz / ∂z ]    ⇔
1/Vs * ∮s F . dS = div(F)
où l'on retrouve bien (204).

Poursuivons l'interprétation physique de la divergence en analysant le cas d'une dérivée partielle positive. Cela signifie que le flux entrant est plus petit que le flux sortant (cf. graphique supra). Or le flux entrant étant négatif et le flux sortant positif (185), il en résulte que le flux net est positif. L'approche mathématique de dérivée partielle positive est donc bien cohérente avec l'interprétation physique de flux normalisé net qui est positif.

Fermons cette parenthèse sur l'interprétation intuitive de la divergence, et étudions de plus près le théorème d'Ostrogradski. Nous allons montrer que le théorème contient l'interprétation physique de la divergence. Il suffit pour cela de faire tendre VS vers zéro ⇒ div(F) ne varie qu'infiniment peu ⇒ elle peut être considérée comme constate, et donc extraite hors de l'intégrale : soit :
s F . dS = ∮  vS→0 div(F) * dV   ⇒
s F . dS = div(F) * ∮  vS→0 dV   ⇔
s F . dS = div(F) * VS   ⇔
1/ VS * ∮s F * dS = div(F)
où l'on retrouve bien (204).

Venons-en maintenant à l'objectif que nous nous étions fixé au début de cette section : montrer que le caractère contre-intuitif du théorème d'Ostrogradski n'est qu'apparent. Pour ce faire on va faire la démarche inverse à celle que l'on vient de présenter : retrouver le théorème à partir de la définition/interprétation physique de la divergence.

ostrogradski-intuitif-decomposition.png

Pour ce faire on va décomposer le volume VS en petits cubes de volume ΔVn et de surface Sn tels que n=1,2,3,...,N. On a alors que, pour chaque petit cube de vecteur position xn :
div(F)|xn = limΔVn→0 1/ ΔVn * ∮sn F . dS

ostrogradski-intuitif.png

Le graphique ci-contre représente les champs situés au milieu des six faces d'un cube. Il illustre le fait que pour chaque cube il y aura six calculs à effectuer.

On fait passer ΔVn dans le membre de gauche ⇒ :
div(F)|xn * limΔVn→0 ΔVn = ∮sn F . dS   ⇒
n=1Ndiv(F)|xn * limΔVn→0 ΔVn = ∑n=1Nsn F . dS   ⇔
∫  vS div(F) * dV = ∑n=1Nsn F . dS

NB : avec la notation intégrale le |xn est implicite.

ostrogradski-intuitif-2.png

La conversion du membre de droite en intégrale semble plus problématique car la somme qui y est représentée prend en compte toutes les surfaces de tous les cubes, or l'intégrale de surface ne doit prendre en compte que les seules surface externes. Mais en réalité le problème ne se pose pas. Pour s'en rendre compte prenons le cas de deux cubes adjacent Sn-1 et Sn. Leurs faces connexes ont une contribution au flux qui est nulle car leurs vecteurs de surface dS respectifs sont égaux en valeur absolue (puisque qu'ils correspondent à un même point de champ) mais de signes opposés (puisque le flux est rentrant dans un cas et sortant dans l'autre) ⇒ les produits scalaires correspondant s'annulent.

ostrogradski-intuitif-3.png

Vue en coupe ⇒ seuls 4 dS par cube sont représentables.

Paradoxe résolu ! Et c'est évidemment cette propriété qui dissipe l'apparente contre-intuitivité du théorème d'Ostrogradski : quelle que soit la valeur des F internes (norme et direction), ceux-ci sont de toute façon annulés !

On peut donc passer à l'intégrale dans le membre de droite :
∫  vS div(F) * dV = ∑n=1Nsn F . dS   ⇔
∫  vS div(F) * dV = ∮s F . dS (208)
⇔ l'intégrale de la divergence sur un volume est donné par l'intégrale de flux de la fonction sur la surface qui limite ce volume. Il s'agit là d'un outil de calcul mathématique très utilisé en physique.

Méthode de Gauss : la sphère

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#methode-gauss-sphere
triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : Méthode de Gauss : la sphère

Nous allons montrer ici que la loi de Gauss s E . dS = 1/ε0 * ∫VS ρ(x) * dV (199) permet de calculer le champ électrique E (membre de gauche, qui est une intégrale de surface) à partir de la distribution de charges qui en est à l'origine (membre de droite, qui est une intégrale de volume). Cette technique est appelée "méthode de Gauss". Nous allons l'illustrer ici par le cas d'un sphère chargée avec une densité volumique de charge ρ (198) constante (dans l'espace et le temps). Cette distribution de charge génère partout dans l'espace un champ électrique E( x), considéré au vecteur position x.

Pour calculer ce champ on pourrait utiliser la formule du champ de Coulomb E = q / ( 4 * π * ε0 * r 2 ) * 1r (195). Une charge q contenue dans un volume infinitésimal peut être considérée comme ponctuelle. La loi de Coulomb permet alors de calculer la valeur du champ généré par cette charge en un point située à une distance r.

gauss-sphere-coulomb.png

Pour connaître r il suffit de connaître la position des deux points dans un référentiel arbitraire. Le graphique ci-joint montre comment, par construction, on trouve que :
• r = || x - x' ||
• 1r = ( x - x' ) / || x - x' ||

E = q / ( 4 * π * ε0 ) * ( x - x' ) / || x - x' ||3

On peut alors reconstituer la sphère par intégration de ces petits cubes, chacun générant sont propre champ en x ⇒ en sommant ces champs on obtient le champ généré par la sphère en x (principe de superposition). À chaque vecteur position x' est ainsi associé un volume infinitésimal dV' dont la charge est alors donnée par le produit de ce volume par la densité volumique ρ : q = ρ * dV' (198). Et si la charge est infinitésimale (c-à-d arbitrairement petite), il en va de même pour le champ qu'elle génère ⇒ il faut remplacer E par dE.

L'égalité précédente devient donc :
dE = ρ * dV' / ( 4 * π * ε0 ) * ( x - x' ) / || x - x' ||3
⇒ le champ généré par la sphère est donc :
E = ∫ dE = ∫ ρ * dV' / ( 4 * π * ε0 ) * ( x - x' ) / || x - x' ||3    ⇔
E = ∫ dE = ∫ ρ(x') / ( 4 * π * ε0 ) * ( x - x' ) / || x - x' ||3 * dV'    ⇔
où l'on précise que la charge volumique ρ(x') n'est pas constante en toutes généralités (NB : ne pas confondre la sphère chargée et la surface de Gauss qui l'entoure).

Cependant le calcul de cette intégrale de volume complexe n'est pas du tout aisé. Heureusement, la loi de Gauss s E . dS = 1/ε0 * ∫VS ρ(x) * dV (199) permet de développer une méthode de calcul nettement plus simple, appelée "méthode de Gauss".

gauss-sphere.png

Dans le graphique ci-contre la surface de Gauss S et le volume qu'elle renferme VS sont représentés en blanc. Dans l'équation ci-dessus on constate que le champ E que l'on souhaite calculer se trouve à l'intérieur d'une intégrale. Comment faire pour l'isoler dans le membre de gauche ? Pour répondre à cette question considérons le cas général 0L f(x) dx = I. On ne peut le résoudre en f(x) que si l'on considère cette fonction comme constante f(x)=f
f * ∫0L dx = I    ⇔
f * L = I    ⇔
f = I / L
La méthode de Gauss est fondée sur ce principe : faire en sorte que l'intégrante E soit une constante. Et pour ce faire on va choisir une surface de Gauss qui a cet effet. Intuitivement on devine que cette surface induit la symétrie de la distribution des charges, et qu'en l'occurrence il s'agit donc d'une sphère centrée sur, et entourant, la sphère chargée.

gauss-sphere2.png

Le graphique ci-contre, qui représente la sphère en 2D, montre que le champ d'une distribution de charges sphérique et uniforme (paires de charges diamétralement opposées relativement au rayon passant par le point de champ x) est radial, c-à-d situé sur le rayon correspondant, et donc perpendiculaire à la surface de Gauss ⇒ les dS sont parallèles aux E, ce qui va simplifier le calcul du produit scalaire du membre de gauche de (199). Et comme la sphère de Gauss est centrée sur la sphère chargée il en résulte que les modules E(r) des champs E sont égaux en tous points de la surface de Gauss :
• E = E(r) * 1r
et il en va de même de leurs vecteurs de surface :
• dS = dS * 1r
de sorte que :
E . dS = E(r) * dS    ⇒
s E . dS = ∮s E(r) * dS    ⇒
NB : le caractère vectoriel (et donc variable) de l'intégrale a disparu ⇒
s E . dS = E(r) * ∮s dS    ⇒
s E . dS = E(r) * S    ⇒
s E . dS = E(r) * 4 * π * r2

Il reste à calculer le membre de droite de s E . dS = 1/ε0 * ∫VS ρ(x) * dV (199). Attention, ρ est considérée comme constante dans toute la sphère chargée, mais cela n'implique pas que ρ(x) est constante dans la sphère de Gauss ("le volume VS enfermé par la surface de Gauss S"), qui englobe la sphère chargée. Cependant, dans l'espace différentiel c'est le vide ⇒ ρ = 0 ⇒ l'intégrale de droite, qui concerne la sphère de Gauss (de rayon r), peut être ramenée à la seule sphère chargée (de volume VSc et rayon R) ⇒
1/ε0 * ∫VS ρ(x) * dV = 1/ε0 * ∫VSc ρ * dV    ⇔
1/ε0 * ∫VS ρ(x) * dV = 1/ε0 * ρ ∫VSc dV    ⇔
1/ε0 * ∫VS ρ(x) * dV = 1/ε0 * ρ * VSc    ⇔
1/ε0 * ∫VS ρ(x) * dV = 1/ε0 * ρ 4/3 * π * R3

de sorte que par (209), (210) et (199) :
E(r) * 4 * π * r2 = 1/ε0 * ρ 4/3 * π * R3    ⇔
E(r) = ρ * R3 / ( 3 * ε0 * r2 )    ⇔
E = ρ * R3 / ( 3 * ε0 * r2 ) * 1r    ⇔
E = ρ * VSc / ( 4 * π * ε0 * r2 ) * 1r    ⇒ par (198) :
E = Q / ( 4 * π * ε0 * r2 ) * 1r
où l'on retrouve donc le champ coulombien (195) c-à-d généré par une charge ponctuelle. C'est là un résultat remarquable, et à priori contre-intuitif : le champ est indépendant du rayon de la sphère chargée (ce qui est pratique pour modéliser des corps dont la taille peut être associée à un point, tels que des électrons).

Rappelons cependant que cette équivalence entre lois de Coulomb et de Gauss n'est valable que dans un système statique; Dès que la charge bouge, la loi de Coulomb n'est plus valable (contrairement à la loi de Gauss, qui est donc plus générale). Mais nous verrons également que la méthode de Coulomb demeure incontournable dans des situations statiques non symétriques.

Interprétations habituelles :
• on retrouve la relation en 1/r2 que l'on avait déjà observée dans le cas d'une charge ponctuelle : plus on s'éloigne de la charge, plus le champ diminue ;
• le champ augmente avec la charge Q, ce qui est également intuitif.

Approfondissons maintenant l'analyse en étudiant le cas où r < R c-à-d lorsque le volume de Gauss est à l'intérieur de la sphère chargée. Étant donné la symétrie du système cela n'a pas d'impact sur le membre de gauche de (209), mais concernant le membre de droite il faut y remplacer R par r(211) devient :
E(r) = ρ * r3 / ( 3 * ε0 * r2 ) * 1r    ⇔
E(r) = ρ / ( 3 * ε0 ) * r * 1r
NB : on a donc plus la relation en 1/r2 !

En résumé :

  • si r ≤ R  ⇒  E(r) = ρ / ( 3 * ε0 ) * r (212)
  • si r ≥ R  ⇒  E(r) = ρ * R3 / ( 3 * ε0 * r2 ) (211)
gauss-sphere3.png

Le graphe de la fonction E(r) illustre la croissance linéaire pour r ≤ R, suivie d'une décroissance en 1/r2 lorsque r devient supérieur à R.


Méthode de Gauss : le cylindre

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#methode-gauss-cylindre

Dans la section précédente concernant l'application de la méthode de Gauss à une sphère chargée, nous avons vu que la méthode requiert d'identifier une surface de Gauss symétrique (de sorte que le produit scalaire du champ et du vecteur de surface est constant ou nul en tout point). Si la réponse est évidente dans le cas d'une sphère, elle l'est moins dans le cas d'un cylindre. Nous allons voir que dans ce cas, la méthode de Gauss fournit une approximation valable (sous certaines conditions) du champ électrique lorsque le calcul du champ se fait en un point suffisamment proche du centre du cylindre et ceci uniquement lorsque ce dernier est suffisamment long (l’approximation n’est pas quantifiée, elle n’est présentée que de façon intuitive).

gauss-cylindre.png

Tant que l'on se situe au niveau du milieu de la longueur du cylindre chargé, il y a symétrie : le champ est perpendiculaire à l'axe du cylindre chargé. D'autre part cette perpendicularité (et partant la symétrie) est d'autant moins approximable que l'on se rapproche d'une extrémité ou l'autre.

Par conséquent, si l'on considère un cylindre chargé de longueur H (en vert sur le graphique ci-contre), et un point externe situé à la surface d'un cylindre de Gauss (en bleu) de longueur h < H et de rayon r, entourant le cylindre chargé, alors il existe au moins une valeur du ratio ( H - h ) / r au-dessus de laquelle on peut considérer que le champ généré par le cylindre chargé à la surface du cylindre de Gauss est en tous points perpendiculaire à l'axe central. C'est l'option que nous appelons symétrie localisée (et en l'occurrence "centrée").

Un autre option est celle de symétrie infinie : on considère ici une situation purement théorique (idéalisée) où H = ∞ de sorte que la symétrie n'est plus localisée, c-à-d qu'on peut la considérer en tout point de l'espace.

Quelle que soit l'option analytique choisie, ∮ étant une intégrale fermée, il faut prendre en compte la surface latérale SL ainsi que celle des deux bases du cylindre de Gauss : S = SL + SB
s E . dS = ∫sL E . dS + ∫sB E . dS

Notez que dans le membre de droite ce ne sont plus des intégrales de surface fermée.

gauss-cylindre-2.png

Concernant sL E . dS, le graphique ci-joint montre la situation vue du dessus : il y a bien une symétrie radiale par rapport à l'axe du cylindre, et les vecteurs de surface dS sont parallèles à leur champ E. Dans ces conditions, leur produit scalaire est égal au produit de leurs modules.

gauss-cylindre-3.png

Concernant sB E . dS, le graphique ci-contre montre que si les deux bases sont choisies telles que perpendiculaires à l'axe du cylindre ⇒ chaque vecteur de surface est perpendiculaire à son champ, de sorte que leur produit scalaire est nul.

Au total on a donc que :
s E . dS = ∫sL E . dS + ∫sB E . dS    ⇔
s E . dS = ∫sL E * dS    ⇔
s E . dS = E * ∫sL dS    ⇔
s E . dS = E * SL    ⇔
s E . dS = E(r) * 2 * π * r * h

gauss-cylindre-4.png

Pour terminer l'application de la méthode de Gauss, intéressons-nous maintenant au membre de droite de la loi de Gauss s E . dS = 1/ε0 * ∫vS ρ(x) * dV (199). Rappelons qu'il s'agit de la charge totale à l'intérieur du volume de Gauss VS. Quant à la densité de charge ρ(x) elle est considérée comme constante (uniformément répartie) dans le cylindre chargé, mais cela n'implique pas qu'elle l'est également dans le cylindre de Gauss ("le volume VS enfermé par la surface de Gauss S"), qui englobe le cylindre chargé. Cependant, dans l'espace différentiel c'est le vide ⇒ ρ = 0 ⇒ l'intégrale de droite, qui concerne le cylindre de Gauss (de rayon r), peut être ramenée au seul cylindre chargé (de volume VSc et rayon R), où ρ(x) = ρ ⇒
1/ε0 * ∫vS ρ(x) * dV = 1/ε0 * ρ ∫vSc * dV    ⇔
1/ε0 * ∫vS ρ(x) * dV = 1/ε0 * ρ VSc    ⇔
1/ε0 * ∫vS ρ(x) * dV = 1/ε0 * ρ * π * R2 * h

De sorte que par (214), (215) et (199) :
E(r) * 2 * π * r * h = 1/ε0 * ρ * π * R2 * h    ⇔
E(r) = ρ * R2 / ( 2 * ε0 * r )    ⇔
E(r) = ρ * R2 / ( 2 * ε0 * r ) * 1r

Interprétation :
• le champ est indépendant de la longueur h du cylindre de Gauss ;
• le champ (externe) diminue en 1/r, alors que dans le cas de la sphère il diminuait en 1/r2 ⇔ la décroissance est moins rapide ;
• alors que dans le cas de la sphère la radialité était définie par rapport au centre de la sphère (r est la distance par rapport à ce point), dans le cas du cylindre elle est défini par la perpendiculaire à l'axe du cylindre (r est la distance par rapport à cet axe) ;

Densité
linéique

Dans le cas de la sphère on retrouvait le champ Coulombien (charge ponctuelle) en exprimant le champ en fonction de la charge totale Q plutôt qu'en fonction de la densité de charge ρ. A-t-on le même résultat dans le cas du cylindre ? :
par (198) :
Q = ρ * π * R2 * H    ⇔
ρ * R2 = Q / ( π * H )   ⇒ substitué dans (216)
E(r) = ( Q / H ) / ( 2 * π * ε0 * r ) * 1r   ⇒
soit λ = Q / H = ρ * π * R2 la densité linéique de charge :
E(r) = λ / ( 2 * π * ε0 * r ) * 1r

De sorte que ni le rayon R ni longueur H du volume chargé n'interviennent. Dès lors, de même que la sphère chargée pouvait être théoriquement réduite à un point, le cylindre peut être théoriquement réduit à un fil rectiligne infini.

Enfin, le cas que nous venons d'analyser est tel que le rayon r du cylindre de Gauss est supérieur à celui R du cylindre chargé. Mais qu'en est-il du champ à l'intérieur du cylindre uniformément chargé, c-à-d tel que r < R ? Cette situation ne changeant rien à la symétrie, rien n'est changé concernant (214). Et dans (215) il faut juste remplacer R par r
E(r) * 2 * π * r * h = 1/ε0 * ρ * π * r2 * h    ⇔
E(r) = ρ * r / ( 2 * ε0 )    ⇔
E(r) = ρ * r / ( 2 * ε0 ) * 1r

En résumé :

  • si r ≤ R  ⇒  E(r) = ρ * r / ( 2 * ε0 ) (217)
  • si r ≥ R  ⇒  E(r) = ρ * R2 / ( 2 * ε0 * r ) (216)
gauss-cylindre-5.png

Le graphe de la fonction E(r) illustre la croissance linéaire pour r ≤ R, suivie d'une décroissance en 1/r lorsque r devient supérieur à R.

Physiquement le graphe ci-dessus peut être illustré comme dans le graphique ci-dessous : à l'intérieur du cylindre chargé le module du champ est croissant (linéairement) tandis qu'en dehors il est décroissant (en 1/r).

gauss-cylindre-6.png

Enfin le graphique suivant compare les deux cas idéalisés : un fil de longueur infinie dans le cas du cylindre (gauche), et un point dans celui de la sphère (droite).

N.d.A. On notera que le schéma de droite peut être interprété comme celui de gauche vu d'en haut. La différence étant l'épaisseur du cylindre, qui semble pouvoir expliquer () le degré inférieur de l'exposant en r : dans les deux cas on a certes une diminution de densité, horizontalement, lorsqu'on s'éloigne du centre, mais dans le cas du cylindre la densité a une seconde dimension, verticale, qui elle ne diminue pas avec la distance au centre.

gauss-cylindre-7.png

Méthode de Gauss : le plan

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triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : Méthode de Gauss : le plan

L'application de la loi de Gauss trouve une application notamment dans le cas de circuits électriques tels qu'un condensateur, qui n'est autre qu'un couple de plaques de charges opposées (cf. champ dipolaire), ce qui génère un champ entre les plaques (qui va permettre de contrôler les courants et tensions dans le circuit).

La problématique théorique est ici du même type que dans les deux sections précédentes. La méthode de Gauss requiert d'identifier une surface de Gauss symétrique, de sorte que le produit scalaire du champ et du vecteur de surface est constant ou nul en tout point. Si la réponse est évidente dans le cas d'une sphère (à savoir une autre sphère), elle l'est moins dans le cas d'une plaque. Nous allons voir que dans ce cas, la méthode de Gauss fournit une approximation valable du champ électrique lorsque le calcul du champ se fait en un point suffisamment proche du centre de la plaque, et pour autant que celle-ci soit suffisamment étendue et mince.

gauss-plan-1.png

On considère ici le cas d'une plaque uniformément chargée avec une densité volume de charge ρ (198). On comprend déjà intuitivement qu'à l'instar du cylindre ce système ne présente pas la symétrie d'une sphère chargée, et que par conséquent cette symétrie devra être considérée comme localisée en le centre de la plaque, ou non localisée en supposant une plaque de superficie infinie. En effet, d'une part le champ en un point situé sur la perpendiculaire au centre d'une plaque carrée est confondu avec cet axe.

gauss-plan-2.png

D'autre par, comme illustré par la géométrie vectorielle de l'image ci-contre, on peut considérer qu'il existe une certaine distance x à une plaque de surface L*L, en-dessous de laquelle les points sources proches du bord n'ont pas d'impact significatif sur le point de champ considéré, de sorte qu'il existe une zone centrée sur le centre de la plaque et dans laquelle le champ est uniforme c-à- identique en tout point, et en l'occurrence perpendiculaire à la plaque.

Comme dans les deux cas précédent cette limitation de symétrie locale pourra être levée en considérant le cas théorique d'une plaque de surface infinie.

gauss-plan-3.png

La configuration du système impose logiquement la forme du volume de Gauss : celui-ci doit contenir le flux et induire une symétrie maximale ⇒ c'est donc le cylindre qui s'impose. Le membre de gauche de la loi de Gauss s E . dS = 1/ε0 * ∫vS ρ(x) * dV (199) se décompose donc à nouveau en deux intégrales de surface (non fermées) : surface latérale (SL) et celle des deux bases (2*SB) :
s E . dS = ∫sL E . dS + ∫sB E . dS
sur la surface latérale les vecteurs de surface sont perpendiculaires à leur champ ⇒ leur produit scalaire est nul, tandis que sur les bases ils leurs sont parallèles ⇒ leur produit scalaire est égal au produit de leurs normes, ⇒

gauss-plan-4.png

s E . dS = ∫sB E * dS    ⇔
s E . dS = E * ∫sB dS    ⇔
s E . dS = E * 2 * SB

Traitons maintenant le membre de droite de la loi de Gauss s E . dS = 1/ε0 * ∫vS ρ(x) * dV (199). C'est une intégrale de volume calculant la charge intérieure à la surface de Gauss, c-à-d la charge de la portion de plaque chargée contenue dans la surface de Gauss, ⇒ par (198) :
1/ε0 * ∫vS ρ(x) * dV = 1/ε0 * ρ * e * SB

De sorte que par (218), (219) et (199) :
E * 2 * SB = 1/ε0 * ρ * e * SB    ⇔
E = ρ * e / ( 2 * ε0 )   ⇔
E(x) = ρ * e / ( 2 * ε0 ) * 1

NB : 1 = - 1x vers la gauche, et 1 = 1x vers la droite !

Interprétations :
• le champ ne dépend pas de la surface de la plaque ;
• le champ (externe) ne dépend pas de sa distance x à la plaque : quelle que soit la distance à laquelle on se trouve de la plaque chargée le champ est constant !

Densité
surfacique

Dans le cas de la sphère on retrouvait le champ Coulombien (charge ponctuelle) en exprimant le champ en fonction de la charge totale Q plutôt qu'en fonction de la densité de charge ρ. A-t-on le même résultat dans le cas de la plaque ? Par (198) :
Q = ρ * e * S    ⇔
ρ * e = Q / S     ⇒ substitué dans (220) :
E(x) = Q / S / ( 2 * ε0 ) * 1   ⇒
soit σ = Q /S = ρ * e la densité surfacique de charge :
E(x) = σ / ( 2 * ε0 ) * 1

De sorte que ni l'épaisseur e ni la surface S de la plaque n'interviennent. Dès lors, de même que la sphère chargée pouvait être théoriquement réduite à un point, et le cylindre à un fil rectiligne infini, la plaque peut l'être à un plan d'extension infinie et infiniment mince.

Enfin, le cas que nous venons d'analyser est tel que le champ est à l'extérieur de la plaque, mais qu'en est-il à l'intérieur ? Cette situation ne changeant rien à la symétrie, rien n'est changé concernant (218). Et dans (219) il faut juste remplacer e par 2*x
E * 2 * SB = 1/ε0 * ρ * 2 * x * SB    ⇔
E = ρ / ε0 * x   ⇔
E(x) = ρ / ε0 * x * 1

Ainsi alors que le champ était indépendant de x en dehors de la plaque, ce n'est plus le cas dans celle-ci (on avait donc raison de faire preuve de prudence dans (220), en mentionnant E(x) plutôt que E). En particulier le champ est nul si x=0 c-à-d lorsqu'on on se situe au milieu de la plaque, ce qui est logique puisque cette situation est symétrique.

gauss-plan-5.png

On notera une continuité (intuitive) dans la dépendance du champ externe à la distance r au volume chargé, selon la forme idéalisée de celui-ci :
• source ponctuelle (dim=0) : dépendance en 1/r2 ;
• source linéaire (dim=1) : dépendance en 1/r1 ;
• source plan (dim=2) : dépendance en 1/r0=1 c-à-d indépendance ;
que l'on peut généraliser par source de dim = n ⇒ dépendance en 1 / r (2-n).

Dans le cas du plan, le résultat à priori contre-intuitif de non dépendance du champ externe par rapport à la distance n'est qu'apparent :
horizontalement (c-à-d dans le sens du flux) : pas de radialité horizontale, donc pas de baisse de densité lorsqu'on s'éloigne du centre ;
verticalement (c-à-d perpendiculairement au flux) : il y a une épaisseur de flux de sorte que la densité est logiquement constante dans l'espace.
Mais rappelons-nous que ces résultats ne valent que pour une distance proche du corps chargé : au delà on retrouvera une dépendance tendant vers 1/r2 au fur et à mesure que la distance grandit c-à-d que l'objet chargé devient petit relativement à celle-ci.

Potentiel

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#potentiel
 1. Potentiel gravitationnel
 2. Gravitation universelle
 3. Potentiel électrique
 4. Loi d'Ohm
 5. Champ quelconque
 6. Potentiel coulombien
 7. Champ et gradient du potentiel
 8. Équations de Poisson et Laplace

Potentiel gravitationnel

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#potentiel-gravitationnel
triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : Le potentiel : introduction I

Le potentiel permet de décrire les aspects énergétiques d'un champ de forces. Comme introduction au concept de potentiel électrique, nous allons ici étudier la notion de potentiel gravitationnel. Pour ce faire on va étudié le cas d'une boule qui, dévalant une pente, acquiert ainsi une énergie cinétique.

Quelle vitesse faut-il imprimer à une boule située au bas d'une pente de longueur et pente déterminées pour qu'elle en atteigne le sommet ? Pour résoudre ce problème, commençons par identifier la loi physique générale auquel ce problème fait référence. En l'occurrence il s'agit de la loi de conservation de l'énergie : l'énergie ne se créé ni ne se perd, elle ne peut que se transformer d'une forme en une autre. Ainsi l'énergie cinétique que la boule acquiert en dévalant la pente n'est en réalité que la transformation de l'énergie potentielle qui lui a été conférée par le travail qu'il a fallu exercer pour l'amener en haut de la pente.

potentiel-gravitation.png

Énergie
potentielle

Ensuite il s'agit d'identifier la loi particulière à ce problème. En l'occurrence il s'agit du fait que le travail à fournir pour élever une masse m à une hauteur h est indépendant de l'angle que fait avec le sol la pente par laquelle la masse est élevée (c-à-d indépendant de la longueur du chemin choisi).

Démonstration :
si θ=π/2 ⇒ par (150) :
W = F * L     et par (47) :
W = F * L * cos(π/2-θ)     ⇒ par (24) :
W = F * L * sin(θ)     ⇒ par (145) :
W = m * g * L * sinθ     ⇒ par (25) :
W = m * g * h    ⇔
W = m * g * z
(z est souvent utilisé pour exprimer une variable de hauteur, et h pour exprimer une donnée de hauteur).

En vertu du principe de conservation ce travail est donc stocké dans la boule, sous forme d'énergie potentielle Ep telle que :
ΔEp = W = m * g * z

Ce processus est évidemment réversible : si cette boule est ensuite relâchée au sommet de la pente à une vitesse initiale nulle, alors elle se met à dévaler la pente, en transformant son énergie potentielle en énergie cinétique Ec = m * v2 / 2    (161), c-à-d en acquérant de la vitesse (ici à accélération constante). Donc, à nouveau le principe de conservation :
| Δ Ep | = | - Δ Ec |    ⇔
m * g * z = m * v2 / 2    ⇔
v = √(2 * g * z)
Ainsi pour toute hauteur z, on peut calculer la vitesse correspondant v(z) (g étant donnée). Et v(z=h) est donc donc la vitesse qu'il faut imprimer à la boule immobile en bas de la pente pour l'y amener au sommet.

Si on fait abstraction des forces de frottement ⇒ la vitesse maximale de la boule qui arrive en bas de la pente reste constante ⇒ on est dans un MRU ⇒ la boule continue indéfiniment sur sa lancée (et on aurait eu également un MRU sur le plateau si la vitesse initiale en bas de la pente avait été supérieure à v(z=h) ). Autrement dit, la vitesse minimale à imprimer pour le trajet bas-haut est la vitesse maximale à la fin du trajet haut-bas, dans le cas d'une boulée lâchée à une vitesse initiale nulle.

Un résultat à priori contre-intuitif de v = √(2 * g* z) (224) est que cette vitesse est indépendante de la masse : quelle que soit celle-ci, la vitesse initiale sera identique pour l'amener en haut de la pente ! On voit que la vitesse ne dépend que du produit g * z, que l'on appelle "potentiel gravitationnel" (noté VG), et que l'on définit plutôt en fonction de l'énergie potentielle équivalente au travail fourni pour gagner ce potentiel :
Ep = W = m * g * z    (223)
VG = Ep / m = g * z [J/kg]
qui est donc l'énergie potentielle par unité de masse, caractérisant ainsi le champ gravitationnel dans sa dimension énergétique : à chaque hauteur z correspond une valeur de VG, laquelle est indépendante de la masse de l'objet considéré (puisque, précisément, c'est l'énergie potentielle par unité de masse). Ainsi pour connaître l'énergie potentielle d'un corps à une hauteur z, il suffit de multiplier sa masse par le potentiel gravitationnel correspondant à cette hauteur.

Découle alors logiquement de la notion de potentiel, celle de différence de potentiel entre deux niveaux de hauteur, qui permet de procéder à des bilans énergétiques. Ainsi le travail à fournir pour déplacer une masse entre deux niveaux quelconques – c-à-d l'énergie potentielle ΔEp ainsi gagnée – vaut m * ΔVGΔVG = VGf - VGi (f pour "final" et i pour "initial").

N.B. La hauteur (en m, km, ...) à laquelle on place le zéro de l'échelle du potentiel (en J/kg) n'a donc aucune importance (notamment, le potentiel zéro ne doit pas nécessairement correspondre à la hauteur zéro) : ΔVG = m * ( zf - zi )zf et zi sont les hauteurs finale et initiale.

Application. Le skieur de 80kg qui a dévalé une pente quelconque, et dont l'altitude a ainsi baissé de 3m, a perdu une énergie potentielle de 80 * ( 10 - 40 ) = 80 * ( 0 - 30 ) = ... = -2.400J, laquelle s'est transformée en différentiel d'énergie cinétique de même valeur absolue mais de signe opposé.

potentiel-gravitation-2.png

Ainsi pour le trajet haut-bas, le travail fournit est négatif c-à-d que l'on reçoit du travail (principe des barrages hydroélectriques). Cependant, la notion de travail négatif étant peu intuitive, on parle plutôt de différence négative d'énergie potentielle.

Ainsi le principe de conservation de l'énergie se formule par :
ΔEp + ΔEc = 0    ⇔
mΔVG + ΔEc = 0

Bilan énergétique. La notion de potentiel gravitationnel vient ainsi compléter celle de champ (d'accélération) gravitationnel : alors que le vecteur accélération g caractérise le champ gravitationnel (vectoriel et uniforme) dans sa dimension de force (F = m * g), le potentiel gravitationnel peut être vu comme un champ (scalaire) qui caractérise le champ gravitationnel dans sa dimension énergétique (Ep = m * VG).

Gravitation universelle

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#gravitation-universelle

Dans la section précédente g est considéré comme une donnée c-à-d une constante. Nous allons ici étudier la nature de cette constante, et ainsi constater que cette donnée est relative aux référentiels planétaires, via la masse et le rayon de celles-ci.

triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : Le potentiel : introduction II

La force de gravitation universelle :
f = - m * G * M / r 2 * 1r
où :
• M = masse de la planète ;
• G : constante de gravitation universelle ;
• r : distance par rapport au centre de la planète (encore appelée "coordonnée radiale").

De sorte que g = - G * M / r 2 * 1r
⇒ plus un corps est éloigné du centre de la planète, plus son poids diminue. Cette décroissance est en 1/r2 (NB : comme le champ électrique d'une charge ponctuelle ...).

À une distance proche de la surface terrestre on peut considérer que g est une constante, de valeur de g = G * M / R 2 ≈ 9,81 m/s2 (où R=6.370km est le rayon de la Terre), car une altitude de 1.000m par rapport à la surface terrestre (par exemple) ne représente que 1/6.370≈0,2% de Rg = G * M / ( R + 1.000) 2 ≈ 9.81 m/s2.

On arrondit souvent g à 10 m/s2.

Potentiel
gravitationnel

Notons que cette hypothèse de g constant était sous-jacente dans la section précédente. Nous allons maintenant lever cette hypothèse (ce qui revient à se situer à de hautes distances de la surface de la Terre) et voir ce qu'il en devient du potentiel gravitationnel VG = Ep / m = g * z (225) lorsque le champ est variable.

Si g est variable alors F = m * g l'est aussi ⇒ W = F * L aussi. Pour calculer W on va donc devoir utiliser le calcul intégral, c-à-d additionner des dW, en posant que g est constant non plus ∀ r mais seulement ∀ dr, c-à-d ∀ Δr de taille arbitrairement petite et donc potentiellement infiniment petite.

gravitation-universelle.jpg

Ainsi calculons le travail nécessaire pour déplacer la masse m entre l'altitude r (par rapport au centre de la Terre) et l'infini. L'infini est une situation théorique qui permet ici de définir un référentiel d'énergie potentielle nulle : si r = ∞(226) f = - m * G * M / r 2 * 1 = 0 ⇒ (150) W = F * x(t) = 0 ⇒ (223) Ep = W = 0 : l'infini équivaut au vide intersidéral, de sorte que la masse en question n'y a plus d'interaction avec la Terre.

Rappel : dans la section précédente nous avons vu que la hauteur à laquelle on place le zéro de l'échelle du potentiel n'a aucune importance ⇒ on peut le placer où l'on veut, notamment à l'infini.

W = ∫r dW    ⇔ par (223) :
W = ∫r m * g * dr'    ⇔ par (227)
NB : notez la distinction à faire entre la variable de position r' et le r de l'intégrale qui est la valeur de départ.
W = ∫r m * G * M / r' 2 * dr'    ⇔
W = m * G * M * ∫r 1 / r' 2 * dr'    ⇔ par (85) :
W = m * G * M * [ - 1 / r' ]r    ⇔
W = m * G * M * / r    ⇔
L'interprétation est intuitive : plus r est élevé, c-à-d plus on part de haut (zi ⇔ VGi ), moins grand est le travail à réaliser pour élever la masse jusqu'à l'infini (zf = ∞ ⇔ VGf = 0).

À l'infini on a donc que :
Ep(∞) = 0
et d'autre part le travail à fournir pour élever jusqu'à l'infini une masse m à partir d'une hauteur r (comptée à partir du centre de la Terre) vaut :
W = m * G * M * / r
or par (223) :
Ep(r) = Ep(∞) - W    ⇒
Ep(r) = - m * G * M * / r    ⇒
VG(r) = Ep(r) / m = - m * G * M * / r / m    ⇔
VG = Ep / m = - G * M * / r

gravitation-universelle-2.png

Le graphe ci-joint est celui de la fonction VG(r). Il illustre la notion de "puits de potentiel" : pour envoyer une masse m à l'infini à partir de la surface de la Terre il faut une énergie égale à m * G * M * / r, où G * M * / r est la profondeur du puits de potentiel, ou encore la différence de potentiel libératrice. L'énergie qu'il faut mobiliser pour libérer une masse (en l'occurrence une fusée) de la gravitation terrestre est considérable. Ainsi la vitesse de libération du champ gravitationnel terrestre est la solution de l'égalité entre l'énergie cinétique et Ep(r) :
1/2 * m * v2 = m * G * M * / R    ⇔
v = √(2 * G * M * / R)    ⇔
v = √(2 * G * M * / R2 * R )    ⇔ par (227)
v = √(2 * g * R )
Cette vitesse, indépendante de la masse de la fusée, vaut :
√(2 * 0,01 * 6.370 ) ≈ 11,3 km/s

gravitation-universelle-3.png

Le graphique suivant représente la baisse (en 1/r) du potentiel gravitationnel au fur et à mesure que l'altitude (la distance au centre de la Terre) augmente : chaque anneau représente un multiple du rayon terrestre. Il y a isotropie des équipotentiels puisque ce sont des sphères centrées sur le centre de la planète.

Potentiel électrique

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#potentiel-electrique

On va s'intéresser aux potentiels associés à des champ électriques uniformes. Pour ce faire on va se mettre dans une situation comparable au champ gravitationnel, au moyen d'une plaque d'une certaine surface, située dans le vide (⇒ elle ne subit pas de gravitation), chargée négativement (par exemple en la frottant). La méthode de Gauss nous a montré que cette plaque génère un champ perpendiculaire à sa surface et sur une zone centrée (cf. #methode-gauss-plan). La plaque étant chargée négativement, nous savons par (182) que le champ est alors dirigé vers la plaque (des deux côtés de celle-ci (mais seul nous intéresse ici le côté "supérieur", pour l'analogie avec le champ gravitationnel). Si nous plaçons une charge q dans ce champ E, nous savons qu'elle va y subir une force F = q * E (181).

potentiel-electrique-intro.png

Considérons maintenant le cas de deux billes dont l'une est chargée positivement (bille verte), tandis que la charge de l'autre est neutre (bille bleue). Vu qu'on se situe dans le vide interstellaire les deux billes sont en apesanteur. Cependant la bille verte, étant chargée négativement, est naturellement collée contre la paroi (qui est négative). Pour éloigner la bille de la plaque (on ne dit pas lever car en apesanteur il n'y ni haut ni bas) d'une distance z, il faut combattre la force d'attraction F en effectuant un certain travail W = F * z = q * E * z (150), de sorte qu'à la distance z la bille a acquis une énergie potentielle EP = W. Si de la distance z on relâche la bille, celle-ci retourne vers la plaque en acquérant une vitesse v (avec accélération constante) lui donnant ainsi une énergie cinétique EC = 1/2 * m * v2 telle que EC = EP.

NB : ne pas confondre EP (énergie potentielle) et E (module du champ électrique).

Par définition, et analogie avec le potentiel gravitationnel (228), le potentiel électrique d'une charge q est :
VE = EP / q [J/C = V (volt)]

On détermine comme suit l'équation permettant de calculer le potentiel électrique V correspondant à une distance quelconque z :
VE = EP / q     ⇔
VE = W / q     ⇔
VE = F * z / q     ⇔
VE = q * E * z / q     ⇔
VE = E * z

Les équations ci-dessus sous forme différentielle :
ΔV(z) ≡ ΔEP(z) / q = E * (zf - zi)
zf et zi sont les positions initiales et finales d'une trajectoire entre deux niveaux de potentiel.

Unité. On voit ici que la notion de volt est moins intuitive que J/C : il faut bien se rappeler que les volts ce sont des joules par coulomb, puisque la notion de potentiel sert précisément à décrire ce qu'il se passe au niveau énergétique (cf. les Joules) quand on déplace des charges dans un champ électrique !

potentiel-electrique.png

Le terme volt vient du nom de l'inventeur de la pile électrique, Alessandro Volta. Comme son nom l'indique une pile électrique est une pile de disques, alternativement composés de zinc et d'argent : celui du bas était en zinc et celui du haut en argent. Ces disques étaient séparés par un buvard imbibé d'acide. Enfin les deux plaques extrêmes comportent une patte appelée "électrode". Celle en zinc (en bas) arrachant les électrons de l'argent (qui a des électrons périphériques mobiles passant facilement au zinc) est alors chargée négativement, tandis que l'électrode du haut (en argent) est chargée positivement.

Ce différentiel de charge génère un champ électrique E. Mais c'est le potentiel V = EP / q = E * d qui caractérise la pile, via la distance d entre les deux électrodes.

Le travail nécessaire pour déplacer une charge positive de l'électrode négative vers la positive est tel que :
W = F * d    ⇒ par (181) :
W = q * E * d    ⇒ par (231) :
W = q * V (230)

Ainsi la connaissance du potentiel électrique V permet ainsi de faire facilement des bilans énergétiques pour des échanges de charges entre les deux électrodes. Ainsi en connaissant q et V (déterminés lors de la fabrication de la pile) on connaît alors l'énergie cinétique provoquée par le retour, sur l'électrode négative, de la charge positive qui aura été relâchée de l'électrode positive. Ainsi soit une pile de 1,5 volt de potentiel, alors une charge de 1C échangée entre les deux électrodes met en jeu une énergie de EP = q * V = 1 * 1,5J.

N.B. Pour que le champ entre les deux électrodes soit uniforme (c-à-d pour que les équations ci-dessus soit valables) il faudrait que ces électrodes soient des plaques.

L'analogie avec le potentiel gravitationnel s'applique également pour la notion de différence de potentiel : ΔEP = q * ΔV (232)
de sorte que l'énergie potentielle et le potentiel peuvent être aussi définis à une constante près. Autrement dit, il ne doit pas nécessairement avoir correspondance entre le zéro de l'échelle de distance et celui de l'échelle de potentiels. Le potentiel est donc une notion abstraite puisqu'à un même point de l'espace la valeur du potentiel sera fonction de la distance arbitraire à laquelle sera fixé le potentiel zéro !

potentiel-electrique-2.png

Soit une pile de 1V de potentiel. Gauche : si le zéro est sur la borne négative, alors la borne positive est à +1V. Droite : si le zéro est placé sur la borne positive alors la borne négative est à -1V. On pourrait aussi avoir -1/2 sur la borne négative et 1/2 sur la borne positive, etc. Tous ces différents "calages" sont équivalents : Vf - Vi = 1 - 0 = 0 - (-1) = 1/2 - (-1/2) = 1 où les indices f et i sont relatifs à la force qu'il faut appliquer pour remonter le courant de la force "naturelle" du système considéré (ici la pile).

Une pile fournit donc une différence de potentiel, encore appelée "tension électrique", "force électromotrice", ou encore "voltage".

potentiel-electrique-3.png

En résumé, la plaque (ci-contre en bleu clair) chargée négativement génère dans son environnement :

  • E : un champ de forces électriques E = F / q (uniformes) , de nature vectorielle (répartition spatiale de vecteurs, dont l'unité des modules est le N/C), qui modélise les forces exercées sur les charges ;
  • V : un champ de potentiels électriques VE = EP / q , de nature scalaire (répartition spatiale de nombres, dont l'unité est le volt=J/C), qui informe sur la situation énergétique (bilans énergétiques).
potentiel-electrique-4.png

Illustration

Supposons que dans le champ de potentiels uniforme du graphique précédent, le module du champ de force uniforme est fixé à E = F / q = 2 N/C. Notons que cela détermine l'échelle des distances (valeur de V à x=1) : par (231) :
V = E * x    ⇒
V = 2 * x    ⇒
la valeur de V pour laquelle x=1 est :
V(1) = 2 * 1 = 2

Ou, plus explicitement :
F / q = 2    ⇒ si q=1C    ⇒ F=2N
⇒ le travail pour amener cette charge de 1C à une distance de 1m vaut :
2N * 1m = 2J     ⇒
VE = Ep / q = W / q = 2 J/C

La fonction potentiel V(x) = E * x (231) est donc une fonction du champ électrique, dont le module E exprime la sensibilité (pente) du potentiel par rapport à la distance. Et la connaissance du potentiel permet de connaître l'énergie des charges se trouvant dans ce potentiel. Par V(x) ≡ EP(x) / q = E * x (232) :
1 : champ de forces : V(x) = E * x
2 : champ de potentiels : EP(x) = q * V(x)
la connaissance du champ E permet de calculer le potentiel V, qui permet de calculer l'énergie EP.

Le graphe infra représente ces deux fonctions pour une charge positive q = 0,5 C.

potentiel-electrique-5.png

Dans le graphe ci-dessus, on voit que la pente du potentiel V(x) vaut bien 2 (module du champ électrique), et qu'en raison de la valeur de la charge (0,5 C), l'énergie potentielle vaut la moitié du potentiel (NB : les unités ne sont pas les mêmes : le potentiel est en volts, tandis que l'énergie est en joules).

L'énergie totale est représentée par une horizontale (en mauve), ce qui illustre le principe de conservation de l'énergie. La diagonale hachurée exprime alors la transformation de l'énergie potentielle en énergie cinétique au fur et à mesure que la charge se rapproche à vitesse croissante de la plaque (il y a attraction puisque plaque et charge sont de signes opposés). Cette vitesse est donc causée par la force d'attraction, et est à son tour la cause de l'augmentation (linéaire) de l'énergie cinétique : F ⇒ v ⇒ Ec.

Par analogie avec la gravitation on peut interpréter la droite du potentiel comme le flanc d'une pente où dévalent des billes (les charges positives) : une charge positive descend le potentiel, tout comme elle est tirée par le champ dans la direction de diminution du potentiel.

Procédons au bilan énergétique de cette charge positive lorsqu'elle se situe à une distance x=1 de la plaque. Pour ce faire nous avons à notre disposition deux outils : le champ et le potentiel :

  • Champ : cette charge positive subit une force attractive (puisque la plaque est chargée négativement) ⇒ si elle n'est pas retenue alors elle se dirige naturellement vers la plaque (qui est donc sa localisation naturelle en absence d'autres forces) ⇒ la force d'application (qui s'oppose à la force naturelle du système) est telle que 0 = xi (lieu où la force d'application commencera à être exercée) ⇔ EP(0) = EPi.
  • Potentiel :
    EP(x) = q * V(x)   ⇒
    EP(1) = 0,5 * 2 = 1J

    Plus explicitement : soit la charge positive en x=0 ⇒ pour la pousser en x=1 il faut exercer un travail de :
    W = F * x    ⇔
    W = 1 * 1 = 1J   ⇔
    EPf - EPi = 1J    ⇔
    EP(1) - EP(0) = 1J
    or la distance à laquelle correspond le zéro de l'énergie est arbitraire : en l'occurrence le calage est tel que l'énergie potentielle nulle correspond à x=0 : Ep(0) = 0
    EP(1) = 1J
    Tant que la charge est immobile (retenue) en x=1 il y a égalité entre son énergie potentielle et son énergie totale. Si alors on relâche la charge on constate que l'énergie potentielle diminue, au profit de l'énergie cinétique, qui augmente sous l'effet de la force d'attraction, et par l'intermédiaire de la vitesse croissante (F ⇒ v ⇒ Ec). Ce faisant, la charge négative "descend le potentiel" : en se rapprochant de la plaque elle passe par des valeurs décroissantes du potentiel.

Charge
négative

À plaque inchangée (c-à-d toujours chargée négativement), l'analogie avec la gravitation n'est plus valable dans le cas de charges négatives, puisqu'alors la force devient répulsive. Observons ce qui se passe lorsque q=-0,5C :

  • Champ : cette charge subit une force répulsive ⇒ si elle n'est pas retenue, alors elle s'éloigne de la plaque ⇒ elle ne se situe donc pas naturellement en x=0 ⇒ la force d'application (qui s'oppose à la force naturelle du système) est telle que 0 = xf (lieu où la force d'application arrêtera d'être exercée) ⇔ EP(0) = EPf.
  • Potentiel :
    EP(x) = q * V(x)   ⇒
    EP(1) = -0,5 * 2 = -1J
    La notion d'énergie négative est peu intuitive, mais n'oublions pas que le niveau où est placé le zéro de l'énergie est arbitraire ⇔ ce qui compte ce sont les différentiels !

    Ainsi, plus explicitement : soit la charge négative en x=1 ⇒ pour la pousser en x=0 il faut exercer un travail de :
    W = F * x    ⇔
    W = 1 * 1 = 1J   ⇔
    EPf - EPi = 1J    ⇔
    EP(0) - EP(1) = 1J    ⇒
    0 - EP(1) = 1J    ⇔
    EP(1) = -1J    ⇔
    Et si alors en x=0 on relâche la charge on constate que l'énergie potentielle diminue, au profit de l'énergie cinétique, qui augmente sous l'effet de la force de répulsion, et par l'intermédiaire de la vitesse croissante : on a toujours F ⇒ v ⇒ Ec. La charge négative remonte ici le potentiel : en s'éloignant de la plaque elle passe par des valeurs croissantes du potentiel.

potentiel-electrique-6.png

Dans le cas d'une plaque négative et d'une charge négative, la droite de l'énergie potentielle (ligne hachurée) est celle du bas.

L'analogie avec la gravitation est ici inversée : on peut voir les particules négatives comme de petites bulles d'air dans l'eau, et qui, poussées vers la droite par la force répulsive, remonteraient le long d'une paroi inclinée (la ligne continue du graphe) située juste au-dessus d'elles.

On a donc une règle générale : toute charge (quel que soit son signe) se dirige (mouvement) dans le sens de la diminution de son énergie potentielle, et donc dans le sens de l'augmentation de son énergie cinétique (mouvement). La différence c'est que les charges négatives remontent le potentiel (c-à-d vont donc contre /sont repoussées par le champ), tandis que les charges positives descendent le potentiel (c-à-d suivent /sont tirées par le champ). La direction du champ indique donc toujours la baisse du potentiel. Nous verrons plus loin que cette règle générale vaut également dans le cas d'une plaque positive.

potentiel-electrique-7.png

Cette propriété de la charge négative remontant le potentiel correspond précisément à ce qui se passe dans les circuits, par exemple celui constitué par une pile dont on a relié les deux électrodes par un fil de cuivre (qui conduit l'électricité) : un courant transporte les électrons de l'électrode négative, qui remontent ainsi jusqu'à l'électrode positive. Les électrons "remontent" naturellement le champ électrique, du fond de leur puits de potentiel, en perdant de l'énergie potentielle !

Ici il n'y a donc plus analogie avec le champ gravitationnel, qui maintient la masse au fond du puis, tandis que les électrons le remontent naturellement (si les électrodes sont reliées par un conducteur). Nous avons vu que cela est du au fait qu'on peut donner un signe différent aux charges, tandis que la masse est toujours positive.

Mais en remontant le potentiel les électrons de la pile perdent de leur l'énergie potentielle. Pourtant leur vitesse est constante, ce qui implique qu'ils ne gagnent pas d'énergie cinétique. Comment cela est-il possible, puisqu'il y a conservation de l'énergie ? La réponse est qu'il y a bien conservation, mais que la transformation peut se faire vers diverses forme d'énergies alternatives. En l'occurrence l'énergie potentielle ne se transforme pas en énergie cinétique mais en énergie thermique c-à-d en chaleur. C'est l'effet Joule : une résistance liée à une source de tension produit de la chaleur (principe du chauffage électrique).

Plaque +
Charge +

Passons maintenant au cas d'une plaque positive. Dans ce cas le champ est extraverti (182). Considérons le cas d'une charge d'essai positive q=0,5C, toujours dans un champ tel que E = F / q = 2 N/C.

  • Champ : cette charge positive subit une force répulsive ⇒ la charge n'est pas naturellement contre la plaque ⇒ la force d'application (qui s'oppose à la force naturelle du système) est telle que 0 = xf (lieu où la force d'application arrêtera d'être exercée) ⇔ EP(0) = EPf.
  • Potentiel : soit la charge située en x=1 ⇒ pour la ramener sur la plaque (c-à-d en x=0) il faut exercer un travail :
    W = F * x   ⇒
    W = 1 * 1 = 1J    ⇒
    EPf - EPi = 1J    ⇔
    EP(0) - EP(1) = 1J    ⇔
    0 - EP(1) = 1J    ⇔
    EP(1) = -1J    ⇒
    V(1) = EP(1) / q    ⇔
    V(1) = -1 / 0,5 = -2J
    Analyse :
    • le graphe de EP est celui correspondant à plaque et charge négatives ;
    • le graphe de V est le symétrique de celui de la plaque négative ⇒ le champ de potentiels est le même que celui de la plaque négative au signe près.

La règle générale supra se complète donc par une propriété supplémentaire : lorsqu'on s'éloigne de la plaque, une plaque positive génère donc dans son espace environnant un potentiel qui diminue (dans les valeurs négatives), tandis qu'une plaque négative génère un potentiel qui augmente (dans les valeurs positives).

Plaque +
Charge -
  • Champ : cette charge négative subit une force attractive (puisque la plaque est chargée positivement) ⇒ elle est naturellement contre la plaque c-à-d en x=0 ⇒ la force d'application (qui s'oppose à la force naturelle du système) est telle que 0 = xi (lieu où la force d'application commencera à être exercée) ⇔ EP(0) = EPi.
  • Potentiel : puisque l'on connaît le potentiel de la plaque en x=1, on peut aller plus vite pour ce second point : EP = q * V    ⇒
    EP(1) = -0,5 * V(1)    ⇒
    EP(1) = -0,5 * -2 = 1J

    Plus explicitement : soit la charge négative en x=0 ⇒ pour la pousser en x=1 il faut exercer un travail de :
    W = F * x    ⇒
    W = 1 * 1 = 1J    ⇒
    EP = W    ⇒
    EPf - EPi = 1J    ⇔
    EP(1) - EP(0) = 1J    ⇔
    EP(1) - 0 = 1J    ⇔
    EP(1) = 1J    ⇒
    V(1) = EP(1) / q    ⇔
    V(1) = 1 / -0,5 = -2J
    Analyse :
    • le graphe de EP est celui correspondant à plaque négative et charge positive ;
    • le graphe de V est le symétrique de celui de la plaque négative ⇔ le champ de potentiels est le même que celui de la plaque négative au signe près.
potentiel-electrique-8.png

Le signe + de V+(x) signifie qu'il s'agit du potentiel de la plaque positive.

Le graphique suivant résume les quatre cas de figure.

potentiel-electrique-synthese.png

Toute charge (quel que soit son signe) se dirige dans le sens de la diminution de son énergie potentielle. La différence c'est que les charges négatives remontent le potentiel (c-à-d vont contre le champ), tandis que les charges positives descendent le potentiel (c-à-d suivent le champ). La direction du champ indique donc toujours la baisse du potentiel ⇔ lorsqu'on s'éloigne de la plaque, une plaque positive génère donc dans son espace environnant un potentiel qui diminue (dans les valeurs négatives), tandis qu'une plaque négative génère un potentiel qui augmente (dans les valeurs positives).

Accélérateur
de particules

Pour construire (et améliorer) des accélérateurs de particules chargées – utilisés dans certains appareils médicaux, ou encore pour la recherche fondamentale sur la composition de la matière – il est indispensable de connaître la théorie que nous venons de présenter.

potentiel-electrique-9.png

Voici comment fonctionne un accélérateur (linéaire). Une source de particules (cube en bleu dans le graphique ci-joint) contient des atomes d'hydrogènes qui sont ionisés (débarrassés de leur unique électron) ⇒ il ne reste de chaque atome H que son unique proton. Ces protons sortent de la source à très basse vitesse (v≈0) puis traversent des cylindres de cuivre (qui est conducteur, en jaune dans le graphique). Ceux-ci sont reliés par une source de tension : une différence de potentiel (atteignant des milliers de volts) est créée de sorte que le premier cylindre est chargé positivement et le second négativement (et nous avons vu que le sens du courant va de borne positive à borne négative : #cohesion-electromagnetique). Chaque cylindre fonctionnant comme un plan (cf. supra #methode-gauss-plan), un champ électrique uniforme est ainsi créé entre eux. Ce champ entre les cylindres accélère ainsi les protons qui le traversent.

Application . Comment calculer la vitesse acquise par les protons accélérés ?

Du point de vue de l'ingénieur qui conçoit l'accélérateur, pour dimensionner celui-ci il faut connaître la vitesse en fonction de la tension que l'on va appliquer.

Un façon de résoudre ce problème est de calculer l'accélération : un proton a une certaine masse, or toute masse qui subit une force est accélérée ⇒ on peut donc utiliser les équations du MRUA (cf. supra #cinematique). Cependant une solution plus simple (requérant moins de calculs) consiste à utiliser le principe de conservation de l'énergie, et donc en l'occurrence d'utiliser la notion de potentiel électrique. Nous avons vu qu'à la distance entre ces deux cylindres correspond une différence de potentiel, que l'on peut calculer par V = E * d (231).

potentiel-electrique-10.png

Supposons un proton situé contre le second cylindre, et que l'on ramène au premier. Pour contrer le champ il faut exercer un travail, qui confère au proton une énergie potentielle : EP = q * V    (229) ... où q et V sont connus ⇒ EP aussi. Ensuite si on relâche le proton, alors il repart vers le second cylindre, avec augmentation de son énergie cinétique, jusqu'à atteindre une valeur égale à EP (NB : qui ne diminue pas, cf. infra) ⇒ le calcul de la valeur que v aura alors atteinte se fait en résolvant l'égalité :
EC = EP     ⇔
1/2 * m * v2 = q * V     ⇔
v = √( q * V * 2 / m)
où :
• la charge q du proton, est la même que celle de l'électron au signe près (cf. supra #atomes) ;
• la masse m du proton est donnée via le nombre d'Avogadro (166) ;
• on fixe V=50.000V ;
⇒ v = 3 * 106 m/s
c-à-d 3.000 km/s, ou encore 1% de la vitesse de la lumière : à cette vitesse les protons mettraient environ deux secondes pour atteindre la lune !

potentiel-electrique-synthese-2.png

N.d.A. L'énergie potentielle ne diminue pas entre les deux cylindres, car, comme montré dans le graphique ci-joint, le système de l'accélérateur est une combinaison de deux des quatre cas étudiés ci-avant : plaque(+) & charge(+) + plaque(-) & charge(+). Or, par symétrie, les deux effets se neutralisent, l'un correspond à une augmentation d'énergie potentielle tandis que l'autre correspond à une diminution de même ampleur).

Ainsi en ajoutant des étages d'accélération (c-à-d des couples de cylindres) on peut atteindre des vitesses proches de celle de la lumière. On atteint ainsi des niveaux d'énergie cinétique considérables qui permettent, en faisant se collisionner des protons, d'étudier leurs débris et partant la composition des particules collisionnées. Les accélérateurs sont utilisés aussi pour l'imagerie médicale (dans ce cas les particules accélérées sont des électrons, générant ainsi des rayons-x) ou encore la protonthérapie (des protons sont accélérés par un accélérateur circulaire appelé "cyclotron").

Loi d'Ohm

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#ohm
ohm-electroscope.png

Dans les années 1820, des scientifiques ont relié au pôle positif d'une pile volta un électroscope à feuillets d'or. On constatait alors que les feuillets s'écartaient. Cet écartement mesure la tension de la pile.

Cependant à cette époque on n'en comprenait pas la raison, à savoir que les électrons de ces feuillets rejoignant la pile, les feuillets portaient alors des charges de même signe (en l'occurrence positif), et par conséquent se repoussaient.

ohm-boussole.png

Quelques années plus tard Ampère découvrit qu'en reliant les électrodes de la pile par un fil métallique on constatait que l'aiguille d'une boussole placée à proximité du fil était déviée, ce qui pourrait constituer une mesure du courant passant par le fil. Mais il constata aussi que l'effet de tension observée sur les deux feuillets de l'électroscope disparaissait, ce qui rendait impossible la mesure d'une relation entre l'écart des feuillets et la variation de l'aiguille.

Ohm reproduisit alors cette expérience sous diverses formes, et découvrit que dans le système originel la tension disparaissait en raison d'un défaut de la pile volta : elle est composée d'une résistance interne très importante. Il conçut alors une source de tension avec une faible résistance : un thermocouple. La tension est plus faible mais le système présente l'avantage que la tension ne disparaît pas, ce qui permit à Ohm de mesurer la relation entre celle-ci et le courant généré (mesuré par la déviation de la boussole, et d'ainsi confirmer expérimentalement sa théorie mathématique.

ohm-pile.jpg

Le sens du courant, c-à-d du débit de charges.

Celle-ci, la loi d'Ohm, décrit une relation de proportionnalité entre la tension (le voltage) V appliquée à un conducteur, et le courant I résultant de cette tension. Le coefficient de proportionnalité R est appelé "résistance électrique" : V = R * I.

Notons qu'à cette époque Ohm et les autres savants ignoraient que le courant mesuré par l'aiguille de la boussole correspondait à un flux de charges, et que la tension mesurée par l'écartement des feuillets correspondait à une différence de potentiel électrique, elle même liée à l'énergie potentielle des charges responsables du courant.

Pour illustrer le développement mathématique de la loi d'Ohm au regard des connaissances actuelles sur les électrons, reprenons le cas de l'accélérateur de particules présenté dans la section précédente. La particule y est accélérée sous l'action d'une force continue. Maintenant si l'on place des obstacles sur la trajectoire de la charge qe, sa trajectoire ne sera plus rectiligne, de sorte que sa vitesse n'est plus accélérée. Cette situation est celle d'une barre métallique, dont on sait que ses atomes sont agencés en réseau cristallin. Dans cette situation qui est celle d'un matériaux conducteurs, les atomes perdent un électron périphérique, qui devient libre, et n'est mobile que par l'agitation thermique. Mais si en outre ces électrons libres sont soumis à un champ électrique, alors ils vont en suivre le courant.

C'est une propriété des matériaux conducteurs que d'être composés notamment d'un grand nombre d'électrons libres (à l'opposé, les isolants n'en contiennent que très peu).

Nous allons maintenant faire une hypothèse pour simplifier le développement mathématique de la loi d'Ohm : l'électron considéré dans l'accélérateur possède une charge ... positive (rappelons-nous que l'attribution de la charge négative aux électrons est une convention et non un fait physique : cf. #cohesion-electromagnetique). Concrètement, on pose ainsi que le mouvement des électrons vers la gauche (dynamique qui complexifie l'exposé) c'est comme des charges positives qui vont vers la droite (cas de l'accélérateur étudié plus haut).

On va modéliser (i) une vitesse constante, qui est la moyenne des vitesses de l'ensemble des électrons de charge +, et (ii) un débit de charges.

On peut faire à nouveau l'analogie avec la force gravitationnelle, où une bille de plomb lâchée dans un tube d'huile, subit une force de friction fluide, ayant pour effet que son accélération est annulée, de sorte que la vitesse est constante. Une bille d'or de même dimension descendrait deux fois plus vite qu'une bille de plomb car sa densité est deux fois plus élevée. Dans ces conditions de frottement, la vitesse est donc proportionnelle à la force subie : v ∝ m * g.

On va ici modéliser le même type de phénomène, mais cette fois pour la force électrique. Par (181) :
v ∝ qe * E    ⇒
puisque qe est une constante naturelle :
v ∝ E    ⇒
v = μ E
μ est la mobilité électronique des électrons libres du matériaux considéré.

D'autre par le débit de charge (le courant) se mesure par :
I = qe * η * Volume / Δt
η est la densité des électrons libres par unité de volume du matériaux considéré (⇔ les matériaux isolants, c-à-d peu conducteurs, ont un η de très faible valeur) ⇔ par (139) :
I = qe * η * ( v * Δt * S ) / Δt
S est la surface de section de la barre de matériaux    ⇔
I = qe * η * v * S    ⇔ par (233) :
I = qe * η * μ E * S
or : V = E * L   (231)   ⇔ E = V / L   ⇒
I = qe * η * μ * S / L * V    ⇔
I = σ * S / L * V
où :
σ = qe * η * μ
sont trois propriétés physiques propres au matériaux, déterminant sa conductivité électrique (σ) ;
• alors que S / L sont des propriétés géométriques propres à la barre constituée du matériaux ;

V = 1 / σ * L / S * I    ⇔
loi d'Ohm : V = R * I

R = 1 / σ * L / S est la résistance du matériaux utilisé.
CQFD

  • On notera la cohérence intuitive de la relation physique de R avec la conductivité σ, la surface S de la section : "plus le tuyau est large plus ça passe". N.d.A. : concernant l'effet de L sur R, peut-on dire que le plus la barre est longue dans l'espace, plus sa résistance est longue dans le temps ?
  • Ohm avait compris que R = ? * L / S. Ce n'est que plus tard, grâce à la compréhension des composants microscopiques de l'électricité (les électrons), que l'on a pu établir que ?=1/σ.

Une lecture peut être plus intuitive de la loi d'Ohm est I = V / R :
• il ne peut y avoir de courant sans différence de potentiel ;
• le courant est d'autant plus élevé que la résistance est faible.

Ce qui est moins intuitif c'est que dans le vide (on retire la barre) la résistance n'est pas nulle mais ... infinie ! En effet si ∄ barre ⇒ ∄ électrons libres ⇔ η=0 ⇒ par (235) : σ=0 ⇒ par (236) : R=∞.

Revenons à la forme classique de la loi d'Ohm V = R * I , qui est celle la plus utilisée dans la pratique : la connaissance du courant I et de la résistance R du matériaux imposent une tension électrique V=R*I aux bornes du conducteur.

ohm-avancee.jpg

Accélérateur de particules

L'effet de la longueur de la barre sur la tension apparaît au travers de R = 1 / σ * L / S (237) : plus la barre est longue ⇒ plus la résistance R est élevée ⇒ plus le potentiel doit être élevé pour fournir un courant déterminé.

Un corrolaire de cette propriété est que le potentiel (la tension) diminue progressivement le long du conducteur : plus l'électron est situé vers la droite, plus la distance qui le sépare de la borne négative est petite. Cela est illustré par le graphe de la pente du potentiel (en rouge). C'est la notion de distribution de la tension électrique : la tension n'est pas seulement une valeur donnée pour une pile électrique, c'est aussi une valeur qui diminue tout au long du conducteur soumis à cette différence de potentielle donnée. Cela correspond bien au fait que la tension électrique représente le potentiel électrique c-à-d l'énergie potentielle divisée par la charge (229). Dans l'analogie avec la gravitation, la particule est alors vue comme une masse descendant le long de cette pente.

Et pourquoi la résistance R varie-t-elle dans le même sens que la longueur L de la barre ? La réponse est donnée par V = E * L (231) : si pour un potentiel donné, la distance entre les deux bornes diminue ⇒ le champ, c-à-d la pente du potentiel, augmente nécessairement ⇒ les charges la descendront d'autant plus vite. À priori on aurait pu penser que l'effet de L sur R était de même type de celui de S sur R, or ce n'est pas le cas : L, qui semblait être un paramètre géométrique, apparaît plutôt de nature dynamique car L intervient sur la valeur du champ c-à-d des forces qui sont en jeu.

On peut poursuivre l'analyse de la loi d'Ohm sous sa forme détaillée I = qe * η * μ * S / L * V (234). Ainsi par exemple, avec moins de frottements (μ ↑) la masse va accélérer (NB : les frottements sont causés par les obstacles que constituent les atomes de la barre).

Notons enfin qu'Ohm fut très influencé par la loi de Fourrier sur la conduction de la chaleur ΔT = R * H
ΔT est le différentiel de température entre deux "sources de température" (tout comme V est la différence de potentiel) ;
H est le débit de chaleur entre ces deux sources, au travers d'un matériaux ;
R est la résistance thermique de ce matériaux.
Ainsi par des développement mathématiques Fourrier avait également démontré théoriquement une relation linéaire entre ΔT et L.

circuit-electronique.jpg

N.d.A. Le graphique ci-contre illustre un circuit électronique de base, constitué d'une source de potentiel v, générant un courant i, freiné par une résistance R (que l'on peut comparer aux forces de friction de la mécanique). Tout matériaux étant caractérisé par une résistance, correspond ainsi à ce phénomène un composant électronique, parfois appelé "dipôle résistant", et qui fait sens dans la mesure où la résistance de son matériaux diffère de celle du reste du circuit.

Champ quelconque

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#champ-non-uniforme

Nous avons jusqu'ici supposé le cas de champ uniformes, c-à-d notamment que les vecteurs du champ ont même direction et module. Il en résulte que les trajectoires des électrons dans ce champ sont également uniformes, ce qui facilite grandement leur calcul. Mais lorsque le champ est quelconque, les trajectoires des électrons sont généralement non rectilignes. Une technique de calcul de ces trajectoires est l'intégrale de circulation.

Trajectoire

Pour développer tout cela il nous faut commencer par montrer qu'une différence de potentiel est indépendante de la trajectoire suivie par un corps pour passer d'un niveau de potentiel à l'autre.

Nous allons donc montrer qu'il y a là une analogie directe avec le champ gravitationnel : dans la section #potentiel-gravitationnel nous avions en effet montré que le travail à fournir pour élever une masse m à une hauteur h est indépendant de l'angle que fait avec le sol la pente par laquelle la masse est élevée, c-à-d indépendant de la longueur du chemin choisi.

champ-quelconque.jpg

Le graphique ci-contre illustre la trajectoire quelconque d'un corps entre les positions initiale (i) et finale (f), auxquelles correspondent une différence de potentiel ΔV. Au corpuscule sont associés un vecteur déplacement dl et le champ E.

Commençons par le cas d'un champ uniforme tel que E = 1 N/C et ΔV = 1 J/C ⇒ par (232) dl = 1. Si l'on déplace alors la charge d'un niveau de potentiel x à x+1 selon un trajectoire qui n'est plus parallèle au champ ⇒ dl augmente. On se rend alors compte qu'il faut adapter ΔV = E * Δl (232) pour que la modélisation mathématique soit cohérente avec le fait que le champ de potentiels est une "lasagne" indépendante de la trajectoire prise pour passer d'un niveau de potentiel à l'autre. En fait ΔV = E * Δl= F / q * Δl = W / q n'est qu'un cas particulier tel que le vecteur "force" F et le vecteur "déplacement" Δl sont parallèles. Or on sait que la formulation générale du travail, c-à-d pour une forcée exercée dans une direction quelconque par rapport à celle du déplacement, est donnée par le produit scalaire du vecteur force et du vecteur déplacement du point d’application de la force (cf. supra #produit-scalaire).

champ-quelconque-gravitation.jpg

Pour montrer cela dans une autre expérience, plaçons-nous à nouveau d'abord dans le contexte gravitationnel. Un homme placé sur un plateau roulant dans un MRU (cf. supra #cinematique) soulève une masse. La trajectoire de celle-ci ne sera donc plus perpendiculaire au sol. Or le travail effectué par l'homme est inchangé par rapport à la situation de repos : son mouvement implique certes une énergie cinétique, mais celle-ci étant constante durant l'exercice (puisqu'on est en MRU), le bilan énergétique (notion de différentiel) est identique à la situation sans mouvement. C'est donc la projection verticale du déplacement (c-à-d sur la direction de la force gravitationnelle) qu'il faut prendre en compte dans le calcul du travail. Nous avons vu que c'est précisément ce que fait le #produit-scalaire :
W = Fa . Δl = m * g * Δl * cos(θ)    ⇔
W = - m * g . Δl    ⇒ en vertu du principe de conservation de l'énergie :
N.B. L'apparition du signe " - ", est due au remplacement de g par g, et exprime que le travail est calculé à partir de la force appliquée (orientée vers le haut) et non du poids c-à-d la force gravitationnelle (orientée vers le bas). Ce signe - n'implique pas que le travail est négatif : Fa est appliquée vers le haut, ce qui implique que θ<π/2 ⇒ cos(θ)>0 ⇒ W est ici bien positif !
ΔEp = - m * g . Δl    ⇒ par (225) :
ΔVG = - g . Δl

Ainsi la différence de potentielle est bien positive, c-à-d que le potentiel augmente, dans le sens opposé à celui du champ ... et inversement (NB : on retrouve ainsi le résultat exposé dans notre graphe synthétique du chapitre consacré au potentiel électrique).

champ-quelconque-electricite.jpg

Champ
équipotentiel

Rien n'empêche d'appliquer au champ électrique les principes développés ci-dessus :
m devient q
g devient E

W = - m * g . Δl
devient
W = - q * E . Δl    ⇒ par (230) :
ΔV = - E . Δl
que l'on comparera utilement à :
ΔV = E * (zf - zi) (232)
en comprenant la signification du signe - lorsque l'on passe de la norme E au vecteur -E.

champ-quelconque-projections.jpg

Or, par définition du produit scalaire, dans (238), Δl représente des vecteurs qui ont tous la même projection Δz sur E :
ΔV = E * Δz
N.B. il s'agit ici non plus de vecteurs mais de scalaires, d'où la disparition du signe " - ".

champ-quelconque-equipotentiel.jpg

On a ainsi démontré la cohérence de la notion de champ équipotentiel : quelle que soit l'inclinaison, c-à-d la direction suivie pour passer d'un potentiel au suivant, la différence de potentiel est identique !

champ-quelconque-trajectoire.jpg

Et comme chacune de ces trajectoires rectilignes peut être vue comme la somme d'une multitudes de trajectoires également rectilignes mais non parallèles, il en résulte que le principe demeure dans le cas de trajectoires quelconques c-à-d non rectilignes :
n=1N ΔVn = - ∑n=1N E . Δln    ⇔
ΔV = - E . ∑n=1N Δln    ⇔
ΔV = - E . Δl = E * Δz
c-à-d (238).

Pour généraliser au cas de courbes quelconques lisses il suffit, dans (239) de remplacer les Δln   par des dl arbitrairement petits, puis de les intégrer (sommation "continue", c-à-d comportant un nombre infini de termes) :
∫ dV = - ∫ E . dl    ⇔

  • La disparition des indices de (239) se justifie par la nature indénombrable des termes d'une somme continue.
  • Le membre de droite est appelé "intégrale curviligne" (car elle intègre des distances infinitésimales), et plus précisément "intégrale de circulation" (du champ E) en raison du produit scalaire entre le champ et les distances infinitésimales.

∫ dV = - E . ∫ dl    ⇔
et par addition vectorielle (cf. #vecteur-addition-multiplication) :
ΔV = - E . Δl
⇔ on retrouve à nouveau (238).

trajectoire-quelconque-champ-uniforme.jpg

Champ
quelconque

Nous venons de montrer que le principe de champ de potentiel uniforme (plus exactement "champ équipotentiel") est indépendant du chemin suivi entre niveaux de potentiel.

Mais nous avons raisonné dans le cadre d'un champ électrique uniforme. Cette hypothèse de champ constant a permis le passage de (240) à (241) en isolant le champ E hors de l'intégrale de circulation. Mais si on lève l'hypothèse de champ uniforme (c-à-d constant), cela ne sera plus possible ...

trajectoire-champs-quelconques-2.jpg

Ainsi si le champ n'est plus uniforme, alors
n=1N ΔVn = - ∑n=1N E . Δln      (239)
devient :
n=1N ΔVn = - ∑n=1N En . Δln

Le graphique ci-contre illustre des vecteurs de modules et directions différents, ce qui requiert de les distinguer par un indice : En ne peut donc plus être extrait de la somme.

trajectoire-champs-quelconques-2.jpg

et
ΔV = ∫ dV = - ∫ E . dl      (240)
devient :
ΔV = - ∫i→f E(x) . dl t242
qui indique bien que le champ varie de façon continue de position en position ⇔ on introduit le vecteur position x dans un repère cartésien ⇔ on intègre une fonction des coordonnées de l'espace (PS : on devrait également remplacer dl par dl(x) puisque les vecteurs changent de direction selon leur position, mais les mathématiciens ont pour habitude de ne pas le mentionner). L'égalité ΔV = - E . Δl = E * Δz n'a donc plus de sens dans le cas d'un champ non uniforme.

On doit alors en déduire que l'équipotentialité n'est plus localisée sous la forme de plans, mais de surfaces qui sont d'autant plus complexes que le champ électrique est complexe. Lorsque nous étudierons le calcul du potentiel d'une charge ponctuelle (notion de "champ coulombien") génèrant un champ non uniforme, nous verrons que demeure néanmoins la propriété d'indifférence du différentiel de potentiel par rapport au chemin suivi entre niveaux de potentiel, c-à-d entre surfaces équipotentielles complexes (on dit que le champ électrique est "conservatif").

champ-quelconque-travail.jpg

Pour comprendre intuitivement (242), il est utile de l'interpréter en terme d'énergie potentielle (rappel : VE = EP / q (229) ). Celle-ci est calculée par le travail réalisé pour passer du point i au point f (travail de la force "appliquée") :
dW = - q * E . dl    ⇒
W = ∫i→f dW = ∫i→f - q * E . dl    ⇒
ΔEP = ∫i→f - q * E . dl    ⇒
ΔV = - ∫i→f E . dl    ⇒
qui est bien (242). Rappelons encore une fois que le signe - exprime le fait que le travail réalisé est celui de la force appliquée contre celle du champ (et la différence de potentiel peut être positive ou négative selon la situation).

Les unités du membre de droite sont :
N / C * m = V    ⇔
N / C = V / m
qui est l'unité la plus fréquemment utilisée du champ électrique.

pile-champ.jpg

Application. Une pile est caractérisée par une différence de potentiel, c-à-d une tension, qui est créée par une réaction électrochimique accumulant des charges négatives sur un pôle et des charges négatives sur l'autre. Il en résulte un champ électrique (dit "dipolaire") sortant du pôle positif et revenant au pôle négatif. Ainsi une pile de 1,5V est telle que l'intégrale du champ - E depuis le pôle négatif jusqu'au pôle positif, selon une trajectoire quelconque vaut 1,5V. NB : on notera dans l'image ci-jointe que le champ -E remonte bien du pôle négatif (bas) vers le pôle positif (haut).

Potentiel coulombien

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#potentiel-coulombien
triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : Le potentiel coulombien

Lagrange avait introduit la notion de potentiel gravitationnel (228), pour les calculs de mécanique céleste, comme par exemple celui de l'orbite lunaire autour de la Terre. L'intérêt de la notion de potentiel est d'exprimer très simplement le principe de conservation de l'énergie, et d'ainsi simplifier les calculs.

Or Coulomb avait découvert entre-temps la loi du champ de force électrique. Laplace avait alors remarqué l'équivalence – au niveau de la radialité (1r) et de la dépendance en 1/r2 – entre l'expression des champs gravitationnel et électrique :

  • champ gravitationnel : g = - G * M / r 2 * 1r (227)
  • champ électrique : E = q / ( 4 * π * ε0 * r 2 ) * 1r (195)

où la constante gravitationnelle -M * G correspond à q / ( 4 * π * ε0 ).

⇒ Laplace a étendu cette équivalence à la notion de potentiel :

  • gravitationnel : ΔVG = - ∫i→f g . dl
  • électrique : ΔV = - ∫i→f E . dl (242)

Le terme "potentiel coulombien" désigne la distribution spatiale de potentiel, associée au "champ coulombien" d’une charge électrique ponctuelle.

potentiel-coulombien.jpg

Pour calculer l'intégrale de circulation (242) (entre les points xi et xf) il faut y injecter (195), où :

  • E(x) est le champ au vecteur position x, dans un repère dont l'origine est centrée sur la charge q (idem pour xi et xf) ;
  • r est la distance entre la charge q et le point de calcul (x) du champ correspondant à cette charge ; aussi appelée "coordonnée radiale", elle est mesurée relativement au vecteur unitaire radial 1r.
Potentiel
absolu

On pourra alors calculer la distribution de potentiel (ou encore "fonction potentiel") V(x). Celle-ci est telle que :
ΔV = - ∫xixf E . dl = V(xf) - V(xi)    ⇒
si l'on suppose que le référentiel de potentiel zéro est tel que :
V( xi ) = 0    ⇒
ΔV = - ∫xixf E . dl = V(xf)
que l'on appelle "potentiel absolu".
Mais ce que l'on cherche c'est le potentiel en x et non pas en xf    ⇒
ΔV = - ∫xix E . dl = V(x)

Il reste à situer le référentiel de potentiel nul de façon pertinente pour calculer le potentiel de la charge q. Serait-il pertinent de le fixer sur la charge elle-même, à l'instar de ce qu'on avait avec la plaque chargée (cf. #potentiel-electrique) ? Non, ici ce n'est pas la bonne solution car alors r=0E(0)=∞ par (195). On va plutôt, dans la continuité de l'analogie avec la force de gravitation, faire le même choix que pour calculer le potentiel gravitationnel (cf. supra #gravitation-universelle), à savoir l'infini ⇒ E(∞)=0 : ce référentiel est idéal car un charge d'essai située à l'infini ne subit aucune force.

Tous les points situés sur la sphère de l'infini sont donc à un potentiel nul. Notre équation devient alors :
ΔV = - ∫x E . dl = V(x)

potentiel-coulombien-1.jpg

On va commencer par faire ce calcul (passer de l'infini à x, par succession de petits pas dl ) sur l'axe de coordonnée radiale (après on étudiera le cas d'une trajectoire quelconque). Pour ce faire on considère :
• un point courant x', de coordonnée radiale r', et circulant de l'infini au point x ;
E et dl  en ce même point courant x' ;
⇒ on substitue (195) dans (243)
ΔV = - ∫∞→x q / ( 4 * π * ε0 * r' 2 ) * 1r . dl = V(x)

Reste à traiter l'autre facteur de (243), dl , qui est tel que :
dl = dr' * 1r
où dr'<0 puisqu'on se dirige de l'infini vers x   ⇒
ΔV = - ∫∞→x q / ( 4 * π * ε0 * r' 2 ) * 1r . dr' * 1r    ⇔
ΔV = - ∫∞→x q / ( 4 * π * ε0 * r' 2 ) * dr' * 1r . 1r    ⇔
ΔV = - ∫r q / ( 4 * π * ε0 * r'2 ) * dr'    ⇔
NB : la valeur de la borne inférieure de l'intégrale est supérieure à la valeur de la borne supérieure, ce qui est cohérent avec le fait que les dr' sont négatifs (on ne doit donc pas mettre de signe "-" devant dr' : cela est implicite dans le calcul de l'intégrale, qui a toujours un sens, de la borne inférieure vers la borne supérieure).
ΔV = - q / ( 4 * π * ε0 ) * ∫r 1 / r'2 * dr'    ⇒
en remplaçant r' par x pour simplifier la notation    ⇒
ΔV = - q / ( 4 * π * ε0 ) * ∫r 1 / x2 * dx    ⇒ (cf. #integrale)
ΔV = q / ( 4 * π * ε0 ) * [ 1 / x ]r    ⇔
ΔV = V(x) = q / ( 4 * π * ε0 ) / r
On notera que cette équation du potentiel coulombien est proche de celle du champ coulombien E(x) = q / ( 4 * π * ε0 * r 2 ) * 1r (195)
... avec cependant deux différences importantes :
• le champ est vectoriel tandis que le potentiel est scalaire ;
• le champ est dépendant en 1/r2 tandis que le potentiel est dépendant en 1/r.

Soulignons le fait que la formule du potentiel est bien celle d'une distribution : x est quelconque : l'ensemble des points situés à une distance r de la charge q constitue une sphère équipotentielle (N.d.A. : on pourrait la comparer à un oignon dont chaque couche de pelure représente un niveau de potentiel).

Interprétation
physique

Pour illustrer la signification physique de cette notion de potentiel, calculons le travail nécessaire pour amener une charge d'essai q0 depuis l'infini jusqu'à la distance r correspondant au point x : pour ce faire je dois combattre la force électrique qui vaut q0 * E ⇒ on obtient la valeur de ce travail en multipliant (243) par q0    ⇒
- ∫∞→x q0 * E . dl = q0 * V(x)
où l'on voit que le potentiel c'est ce travail (c-à-d l'énergie) divisé par la charge d'essai q0.

potentiel-coulombien-2.jpg

Généralisons enfin ce résultat au cas d'un trajet quelconque, et non plus seulement le long d'un axe radial (sans quoi la notion de potentiel n'aurait pas grande utilité). Que se passe-t-il lorsqu'on passe d'une charge d'essai de l'infini au point x ? Dans ce cas les dl ne sont plus alignés sur l'axe radial : ils sont quelconques.

Le champ situé à une distance r' de la charge q se calcule par E(x) = q / ( 4 * π * ε0 * r' 2 ) * 1r (195). Quant aux dl, on a pas besoin de les calculer car ils apparaissent au travers du produit scalaire de ΔV = - ∫∞→x E . dl = V(x) (243).

potentiel-coulombien-3.jpg

Or celui-ci est tel que :
E . dl = q / ( 4 * π * ε0 * r' 2 ) * 1r . dl    
or par (47), on sait que le produit scalaire de deux vecteur est la projection de l'un sur l'autre ; or en l'occurrence dr' est la composante radiale de dl :
1r . dl = dr'     ⇒
E . dl = q / ( 4 * π * ε0 * r' 2 ) * dr'     ⇒
qui correspond bien à (244) ⇔ un déplacement quelconque (et donc l'intégrale de circulation correspondante) est équivalent à un déplacement radial.


potentiel-coulombien-4.jpg

Cela est illustré par le graphique ci-contre, qui montre que tous les vecteurs dl des deux trajectoires quelconques de i à f ont la même composante radiale. Autrement dit, le travail effectué pour amener la charge de i en f est indépendant du chemin suivi.

potentiel-coulombien-5.jpg

Et de même, dans le cas d'une trajectoire circulaire, l'intégrale de circulation du champ électrique est nulle : ∮ E . dl = 0 ⇔ si on multiplie les deux membres par une charge d'essai quelconque q0 on voit que le travail total pour déplacer la charge sur un aller-retour est nul : l'énergie utilisée pour aller de i à f sera regagnée lors du trajet retour. Autrement dit, le champ électrique est conservatif. On voit ainsi que le concept de potentiel est notamment utile pour expliquer et formuler le principe de conservation.

Notation, définition et calcul d'une grandeur physique

  • ΔV = - ∫∞→r E . dl (243) est une définition du potentiel.
  • V(r) = q / ( 4 * π * ε0 ) / r (245) est une façon de calculer le potentiel.
  • ΔV = V(r) sont les deux notations du potentiel (à une distance r de la charge q générant le champ E, et tel que V(∞)=0 : cf. notion de potentiel absolu).

Le graphe ci-dessous est celui du potentiel coulombien V(r) = q / ( 4 * π * ε0 ) / r (245), d'une charge d'essai q0 (ici positive), située à une distance r d'une charge q (ici positive) générant un champ électrique (extraverti puisque q>0).

potentiel-coulombien-graphe.png

La pente de cette courbe est sa dérivée :
dV / dr = - q / (4 * π * ε0 * r2 )
qui est au, signe près, la composante radiale du champ
E(x) = q / ( 4 * π * ε0 * r2 ) * 1r     (195)
ce qui est logique puisque par définition
V(r) = - ∫∞→r E . dl     (243)     ⇔
V(r) = - ∫∞→r E . 1r * dr     ⇔
V(r) = - ∫∞→r E * dr     ⇒
V(r) est bien la primitive du champ (avec un signe négatif) E, c-à-d que sa dérivée donne le champ (avec un signe négatif). La pente est bien le module du champ, et elle diminue rapidement avec r car elle diminue en 1/r2 [cf. (246)]. C'est également le cas de la force répulsive (flèches bleues dans le graphe supra) en vertu de :
E = F / qe   (181)     ⇔
F = E * qe     ⇔
F = qe * q / ( 4 * π * ε0 * r2 ) * 1r
NB : il s'agit d'une force répulsive dans un champ extraverti (puisque q>0).

dV / dr = - q / (4 * π * ε0 * r2 ) (246) exprime donc un lien différentiel entre le potentiel et le champ, que l'on généralise pour tout potentiel sous la forme dite du "gradient de potentiel" :
= - E
qui permet d'obtenir le champ à partir de la connaissance du potentiel.

Charge
négative

Nous avons considéré jusqu'ici le cas de deux charges positives q et q0. Le graphe suivant ajoute le cas de q<0 (partie inférieure), la charge d'essai q0 demeurant positive. Dans cette configuration, le champ généré par q est intraverti puisque q<0, et la force subie par la charge d'essai est attractive puisque q0 et q sont de signes opposés (cf. supra #champ-electrique).

potentiel-coulombien-graphe-1.png

Analyse synthétique dans le cas d'une charge d'essai q0 positive :

  • partie supérieure (q > 0) :
    • force : le champ généré par q est extraverti (puisque q>0), et la force subie par la charge d'essai q0 est répulsive (puisque q0 et q sont de mêmes signes) ;
    • énergie : la force subie par la charge d'essai q0 étant répulsive ⇒ pour rapprocher q0 de q il faut exercer un travail, ce qui créé de l'énergie potentielle ; et comme l'intensité du champ augmente avec le rapprochement, la force à exercer (et le potentiel ΔV ainsi créé) devient de plus en plus grand au fur et à mesure que q0 est rapprochée de q (notion de "potentiel répulsif").
  • dans la partie inférieure (q < 0) :
    • force : le champ généré par q est intraverti (puisque q<0), et la force subie par la charge d'essai q0 est attractive (puisque q0 et q sont de signes opposés) ;
    • énergie : la force subie par la charge d'essai q0 étant attractive ⇒ pour éloigner q0 de q il faut exercer un travail, ce qui créé de l'énergie potentielle, et comme l'intensité du champ diminue avec l'éloignement, la force à exercer (et le potentiel ΔV ainsi créé) devient de plus en plus faible (notion de "potentiel attractif").

Interprétons maintenant ces deux configurations au regard du principe de conservation.

potentiel-coulombien-energie.png
  • potentiel répulsif : la ligne verticale hachurée en gris correspond à une charge d'essai q0 (>0) dont l'énergie potentielle est relativement élevée : si sa vitesse est nulle (c-à-d si elle est maintenue) alors cette énergie potentielle représente toute son énergie totale ⇒ si cette charge d'essai est lâchée ⇒ elle subit la force de répulsion ⇒ sa vitesse (et donc son énergie cinétique) augmentent, alors que son énergie potentielle diminue d'autant ⇒ à l'infini l'énergie cinétique est égale à la valeur que l'énergie potentielle avait au départ. Notons enfin que plus la charge d'essai est lâchée à une distance éloignée de q, moins grande sera l'énergie cinétique accumulée par q0 à l'infini.
  • potentiel attractif : considérons maintenant que la charge d'essai q0 (>0) est maintenue (c-à-d que sa vitesse est nulle) à l'infini (vide intersidéral ⇒ son énergie totale est nulle) : si elle est lâchée ⇒ elle est attirée par le champ ⇒ son énergie cinétique augmente vers l'infini ⇔ son énergie potentielle diminue à l'infini (notion de "puits de potentiel").
Physique
atomique

Nous allons étudier maintenant un cas concret, à l'échelle d'un noyau atomique, dont l'ordre de 10-14m (cf. supra #modele-atomique). Nous avons vu que le noyau atomique est composé de protons (charges +) et de neutrons (charges 0), les derniers exerçant un force de cohésion (dite "interaction nucléaire" ou encore "interaction forte") entre les premiers (cf. supra #cohesion-nucleaire). Cette "interaction forte" s'oppose donc aux forces électriques répulsives entre les protons du noyau ⇒ on peut en déduire qu'un noyau contient de l'énergie. Nous allons pouvoir mesurer celle-ci à l'aide de V(r) = q / ( 4 * π * ε0 ) / r (245).

atome-helium.png

Atome d'helium.

Pour simplifier l'analyse on va considérer le cas d'un noyau contenant seulement deux protons, ce qui est le cas de l'atome d'hélium (He : cf. supra #tableau-periodique). On pose que la distance qui les sépare est de 10-14m (en réalité c'est un peu moins). Pour créer les atomes d'hélium des étoiles ont du exercer une force (cf. supra #orbites-electroniques) pour abaisser à 10-14m une distance que l'on suppose originellement égale à l'infini. L'énergie requise pour ce faire est donnée par :
VE = EP / q   [J/C = V (volt)]   (229)     ⇔
EP = VE * q     ⇒ par (245) :
EP = q2 / ( 4 * π * ε0 ) / r     ⇒ par (193) :
EP = q2 * k0 / r     ⇒
EP = ( 1,6 10-19 )2 * 9 109 / 10-14 ≈ 2,3 10-14 J
ce qui est un très petite quantité d'énergie ... sauf que la matière est composée d'un très grand nombre de nucléons : 1g de n'importe quelle matière contient 6,02 1023 nucléons (cf. supra #modele-atomique) ⇒ l'énergie contenue dans 1g de n'importe quelle matière vaut :
6,02 1023 * 2,3 10-14 ≈ 14 109 J ce qui est considérable !

Cette énergie "atomique" est de nature électrique : en libérant les protons de leur force de cohésion induite par le champ coulombien, donc en brisant le noyau (fission nucléaire), on créé de l'énergie cinétique. Comme celle-ci provient de l'énergie potentielle, on peut calculer la vitesse des protons libérés lorsqu'ils arrivent à l'infini :
Ep = m * v2 / 2     ⇔
v = √( 2 * Ep / m )     ⇒ par (166)
v = √( 2 * 2,3 10-14 / 1,67 10 -27 ) ≈ 5,25 106 m/s
La vitesse de la lumière, considérée comme la vitesse maximale physiquement possible, est d'environ 3 108 m/s).

Dans une centrale atomique cette vitesse, c-à-d cette énergie cinétique, à l'échelle microscopique correspond à de l'agitation thermique considérable c-à-d à une forte création de chaleur ⇒ qui chauffe de l'eau ⇒ qui produit de la vapeur ⇒ celle-ci est pressurisée ⇒ conduite vers des turbines ⇒ qui font tourner des alternateurs ⇒ qui produisent de l'électricité.

Mécanique
céleste

Nous avons déjà souligné l'équivalence entre les travaux de Laplace en matière d'électricité et ceux de Lagrange en matière de mécanique céleste. Le tableau suivant synthétise ces équivalences :

Force électriqueForce gravitationnelle
Champ E(x) = q / ( 4 * π * ε0 * r 2 ) * 1r     (195) g = - G * M / r 2 * 1r     (227)
Potentiel V(x) = q / ( 4 * π * ε0 * r )    (245) V(x) = - G * M * / r     (228)

Ainsi pour calculer la force subie par la Lune dans le champ gravitationnel de la Terre (c-à-d le poids de la Lune dans ce champ), il suffit de multiplier (227) par la masse de la Lune ⇒
m * g = - G * M * m / r 2 * 1r
De même, pour calculer l'énergie potentielle de la Lune il suffit de multiplier (228) par la masse de la Lune ⇒ :
Ep = V * m = - G * M * m / r
où l'on voit par le signe négatif qu'il s'agit d'un potentiel attractif : la Lune est prise dans le puits de potentiel de la Terre.

potentiel-coulombien-hydrogene.png

Faisons maintenant les deux mêmes calculs pour l'atome d'hydrogène, le plus simple des atomes puisqu'il ne comporte qu'un proton et un électron (cf. supra #tableau-periodique). Cet électron joue donc le rôle d'une charge d'essai négative, de sorte qu'il y a attraction vers le noyau (qui génère un champ extraverti puisqu'un proton est de signe +).

En vertu de E = F / q0 (181), la force subie par l'électron est donc donnée par :
F = - qe * E(x)     ⇔
F = - qe2 / ( 4 * π * ε0 * r 2 ) * 1r
Et en vertu de VE = EP / qe   (229) l'énergie potentielle de l'électron est donnée par :
Ep = V * (- qe )     ⇔
Ep = - qe2 / ( 4 * π * ε0 * r )
où l'on retrouve bien également un potentiel attractif : l'électron est pris dans le puits de potentiel du proton.

C'est le "modèle planétaire de l'atome" que Bohr a élaboré en 1913, en décrivant notamment les propriétés d'émission lumineuse de l'atome. Et en 1925 Schrödinger formule les bases de la mécanique quantique, selon laquelle l'électron ne serait pas une particule mais une onde. Sa célèbre équation, qui comporte le potentiel coulombien, montre qu'un atome génère de la lumière à des fréquences (longueurs d'onde) bien précises. L'expérimentation a montré que l'équation de Schrödinger permet de prédire ces fréquence avec une très grande précision.

Champ et gradient du potentiel

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#champ-gradient-potentiel
triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : Champ et gradient du potentiel
Nous avons vu précédemment que ΔV = - ∫i→f E(x) . dl (242) : la différence de potentiel entre deux points est donnée par l'intégrale de circulation du champs électrique entre ces points. Ainsi la connaissance du champs électrique en tout point de l'espace permet de calculer la différence de potentiel.

Nous avions vu également qu'il en est de même de la distribution de potentiel : on peut calculer le potentiel en un point quelconque, en fonction du champs qu'il subit. Pour ce faire il suffit de considérer que le point initial du déplacement est située à l'infini ⇒ V(x) = - ∫∞→x E . dl (243), que l'on appelle "potentiel absolu".

Rappelons que Coulomb avait mesuré le champ électrique expérimentalement. Ensuite, à partir de sa loi expérimentale E = q / ( 4 * π * ε0 * r 2 ) * 1r (195), il en a déduit la formulation du potentiel en suivant l'idée de Laplace selon laquelle à toute distribution de champ électrique est associée une distribution de potentiels V(x) = - ∫∞→x E . dl (243), (empruntée à la notion de #potentiel-gravitationnel de Lagrange).

Nous allons ici démontrer la démarche inverse : calculer la valeur du champs en tout point de l'espace à partir du potentiel électrique en ce point. Notons que la voie à suivre pour ce faire n'est pas évidente : le champs étant la variable d'une intégrale, on ne voit pas à priori comme l'en extraire. Pour résoudre ce problème on va recourir à la notion de gradient.

potentiel-interpretation.jpg

Rappel. Commençons par rappeler l'interprétation physique du potentiel. Soit une charge d'essai q0 ; elle subit la force q0 * E ; pour la maintenir en place on doit lui exercer la force - q0 * E ; et si l'on veut déplacer la charge le long d'une trajectoire quelconque, il faudra fournir une certaine force exercée sur une distance dl, c-à-d un certain travail (dW) ; cette force n'est pas - q0 * E, mais sa composante tangentielle à la trajectoire (la composante normale à la trajectoire comptant pour rien dans l'effort à fournir) ; cette composante est le produit scalaire - q0 * E . dl = dW (150). L'énergie associée à ce travail est évidemment conservée : elle a été transformée en énergie potentielle :
dEp = dW    ⇒
dEp / q0 = - q0 * E . dl / q0   
dEp / q0 = - E . dl
⇒  par :
V = E / q0    (229)   ⇒
dV = - E . dl (238)
(NB : la différence de potentiel dV correspond au déplacement dl).
qui, substitué dans :
V(x) = - ∫∞→x E . dl    (243)   ⇒
vérifie bien que :
V(x) = ∫∞→x dV

Ce rappel étant fait, entrons maintenant dans le vif du sujet. Pour calculer la valeur du champs en tout point de l'espace à partir du potentiel électrique, commençons par constater qu'il n'est pas nécessaire de considérer ici une intégrale de circulation (cf. supra #champ-non-uniforme) : il suffit d'un seul déplacement infinitésimal de la charge d'essai. Or si ce déplacement est infinitésimal, on peut considérer que le champs y est constant.

Dans ces conditions, l'égalité entre les deux membres de droite des deux égalité précédentes :
- ∫∞→x E . dl = ∫∞→x dV
se simplifie :
- E . dl = dV (238)

champ-gradient-potentiel.jpg

On va alors exprimer dV en fonction de dl en représentant celui-ci dans un repère cartésien, et en l'exprimant en fonction de ses composantes (également infinitésimales) :
dl = dx * 1x + dy * 1y + dz * 1x (45). On va alors parcourir dl en trois étapes correspondant chacune à un élément de cette somme. Chacun de ces déplacement correspond à celui d'une des trois coordonnées, alors que les deux autres sont inchangées. Autrement dit, chaque déplacement se fait perpendiculairement au plan des deux autres axes de coordonnées.

derivee-partielle.jpg

On peut alors exprimer les variations de potentiel correspondant à chacun de ces déplacements. Le cas exprimé dans la figure ci-contre correspond à la dérivées partielles de V en x : ∂V / ∂x * dx. La variation de V sur l'axe vertical est bien égale au produit de dx par la pente ∂V/∂x en ce point.

Au bout des trois opérations, la différentielle totale de V vaut alors : dV = ∂V/∂x * dx + ∂V/∂y * dy + ∂V/∂z * dz

On fait alors appel à la notion de gradient : V = ∂V/∂x * 1x + ∂V/∂y * 1y + ∂V/∂z * 1z (80) ⇒ en comparant les trois dernières égalités on constate que l'une est le produit scalaire des deux autres :
dV = ∇V . dl
...que l'on compare alors avec :
- E . dl = dV   (238)   ⇒
V . dl = - E . dl

Avec cette dernière égalité, nous avons fait pas mal de progrès dans notre tentative de calculer le champs à partir du potentiel. D'une part, connaissant le potentiel, on peut calculer le gradient. D'autre part, on pourrait être tenté de simplifier en supprimant dl, mais rappelons-nous qu'on ne peut diviser par un vecteur (cf. #proprietes-produit-scalaire) !

pas-diviser-par-vecteur.jpg

Dans le cadre du présent développement, il est utile de montrer ici cette (non) propriété. Nous avons vu que le produit scalaire est le produit de la norme d'un vecteur par la norme de la projection d'un autre vecteur (cf. supra #produit-scalaire). Or Le graphique ci-contre montre que différents vecteur peuvent avoir la même projection. Il en résulte que l'égalité des produits scalaires de deux vecteurs avec un troisième (en l'occurrence dl) n'implique par que les deux premiers sont nécessairement égaux. Autrement dit, la simplification qui consisterait à supprimer dl dans les deux membres de l'égalité V . dl = - E . dl n'est pas autorisée.

Cependant, dans le cas présent caractérisé par le fait que dl est quelconque, cette simplification est autorisée. En effet, puisque dl est quelconque, on peut le choisir dans n'importe quelle direction, par exemple uniquement en x :
dl = dx . 1x
(on a donc que dy=dz=0)
or :
- E = - Ex . 1x - Ey . 1y - Ez . 1z    (45)
V = ∂V/∂x * 1x + ∂V/∂y * 1y + ∂V/∂z * 1z   (80)
⇒ par définition du produit scalaire, l'égalité :
V . dl = - E . dl
devient :
∂V / ∂x . dx = - Ex . dx    
∂V / ∂x = - Ex
Or on obtient évidemment le même type de résultat si on avait choisi :
dl = dy . 1y     ⇒
∂V / ∂y = - Ey
Idem pour la composante z.

On constate donc que V et -E ont les mêmes composantes en x,y,z, ce qui signifie évidemment leur égalité :
V = - E     ⇔
E = - ∇V

Et voilà ! Nous avons ainsi démontré que la connaissance du potentiel V(x,y,z) permet de calculer le champs E en tout point.

Nous allons d'abord illustrer le fait que E = - ∇V (249) permet de calculer la valeur du champs en un point, à partir de la fonction de distribution du potentiel (fonction des coordonnées du point de calcul dans l'espace). Il suffit pour cela de calculer le gradient V = ∂V/∂x * 1x + ∂V/∂y * 1y + ∂V/∂z * 1z (80) , et donc les dérivées partielles qui le constituent (NB : il faut donc que la fonction soit dérivable au point considéré).

Soit la fonction de distribution du potentiel V(x,y,z) = a * x * ( y2 + z2 ) :
∂V / ∂x = a * ( y2 + z2 )
∂V / ∂y = 2 * a * y
∂V / ∂z = 2 * a * z

champ-gradient-illustration.gif

⇒ à partir de la valeur de a (exprimée en volt/m3) et x,y,z (exprimées en mètres), on calcule facilement ces dérivées partielles ⇒ on connaît les composantes du vecteur gradient :
V = a * ( y2 + z2 ) * 1x + 2 * a * y * 1y + 2 * a * z * 1z
... et l'on peut faire cela en tout point.


champ-gradient-illustration-2.jpg

Interprétons maintenant l'illustration de façon qualitative. On suppose la connaissance d'une distribution, représentée dans l'illustration ci-contre par des surfaces équipotentielles vues en coupes (et apparaissant donc comme des lignes). Il résulte de E = - ∇V (249) un lien entre entre champs électrique et ces équipotentielles : le gradient étant perpendiculaire aux surfaces équipotentielles (cf. supra #gradient-lignes-niveau), le champs l'est donc aussi. Par conséquent il résulte de dV = ∇V . dl (248) et de (50) que pour un déplacement dl perpendiculaire au champ, alors dV=0 (en effet, si on est perpendiculaire au champ (cf. illustration ci-dessus), on l'est forcément aussi par rapport au gradient puisque celui-ci est opposé au champs). Concrètement, cela veut dire que ce déplacement a lieu le long d'une équipotentielle. Autrement dit, les surfaces équipotentielles sont partout perpendiculaires au champ.

Voir aussi le lien avec la notion de dérivée directionnelle df / dl = ∇f . 1l (82).

On est donc maintenant capable d'interpréter, de "lire la carte" de distribution du champ électrique, en observant simplement les équipotentielles :

  • orientation : le champ électrique y est perpendiculaire en chaque point ;
  • intensité : plus les équipotentielles sont serrées, plus la variation de potentiel est rapide/importante (la pente de potentiel est élevée : pour un dl donné on aura un variation de potentiel plus grande dans les zones où les lignes de champs sont plus proches).
lecture-champ-dipole.jpg

Illustrons cette lecture dans un cas simple : le dipôle (deux charges de mêmes valeurs absolues mais de signes opposés). Dans le schéma ci-contre les surfaces équipotentielles (sphériques) sont toujours représentées en coupes (rouges).

  • orientation : en partant d'un point quelconque de ces équipotentielles, dans une direction perpendiculaire, on dessine les lignes de champ (bleues). Ainsi à chaque perpendiculaire à une équipotentielle correspond une tangente à une ligne de champ. ;
  • intensité :
    • rouge : la taille des cercles augmente au fur et à mesure que l'on s'éloigne des charges ;
    • bleu : plus les lignes de champ sont espacées plus le champs est faible.

    La où les lignes de champ sont serrées (ce qui indique un champ important), on a aussi des équipotentielles serrées indiquant la direction de plus grande variation de potentiel, le champ allant dans la direction de plus grande variation négative (chute de potentiel) puisque E = - ∇V (249) (le gradient indique la direction de variation positive du potentiel).

Voilà qui illustre clairement que la connaissance de la distribution de potentiel induit la connaissance des lignes de champ.

champ-gradient-illustration-3.jpg

Coupe d'une sphère.

Passons maintenant à un dernier exemple : le calcul du champ électrique produit par une charge ponctuelle. Pour ce faire faire on va donc partir du potentiel coulombien :
V(x) = q / ( 4 * π * ε0 ) / r (245)
pour en déduire le champ coulombien :
E = q / ( 4 * π * ε0 * r 2 ) * 1r (195).


champ-gradient-illustration-4.jpg

On applique à nouveau E = - ∇V (249) pour calculer le champs à partir du gradient V = ∂V/∂x * 1x + ∂V/∂y * 1y + ∂V/∂z * 1z (80). Celui-ci se calcule via les dérivées partielles de la fonction V(x,y,z) ⇒ il faut exprimer le rayon r en fonction de ses coordonnées cartésiennes de l'espace. Pour ce faire on va placer le repère cartésien sur la charge elle-même (c-à-d que celle-ci se trouve à l'origine du repère). Ainsi, le point (x,y,z), dont on veut calculer le champ, permet d'exprimer r le plus simplement : grâce au théorème de Pythagore (20) on sait que :
r = (x2 + y2 + z2)1/2

∂V / ∂x = ∂( q / ( 4 * π * ε0 ) / (x2 + y2 + z2)1/2 ) / ∂x    
par ( F[ G(x) ] )' = F'( G(x) ) * G'(x) (75), on calcule facilement que :
∂V / ∂x = q / ( 4 * π * ε0 ) * (-1/2) * (x2 + y2 + z2)-3/2 * 2 * x    
∂V / ∂x = - q / ( 4 * π * ε0 ) * x / (x2 + y2 + z2)3/2    
∂V / ∂x = - q / ( 4 * π * ε0 * r3 ) * x
et de même :
∂V / ∂y = - q / ( 4 * π * ε0 * r3 ) * y
∂V / ∂z = - q / ( 4 * π * ε0 * r3 ) * z

V = - q / ( 4 * π * ε0 * r3 ) * ( x * 1x + y * 1y + z * 1z )

champ-gradient-illustration-5.jpg

Or x * 1x + y * 1y + z * 1z est précisément le vecteur position (45) du point de calcul. La norme de ce vecteur position étant r, on peut le remplacer par r * 1r1r est le vecteur unitaire radial (179)
V = - q / ( 4 * π * ε0 * r3 ) * r * 1r    
V = - q / ( 4 * π * ε0 * r2 ) * 1r
qui combiné avec
E = - ∇V (249)
permet de retrouver que :
E = q / ( 4 * π * ε0 * r 2 ) * 1r (195)
CQFD.

champ-gradient-illustration-6.jpg

Interprétation. Le vecteur gradient est dirigé vers -1r (le vecteur unitaire radial s'éloigne toujours de l'origine, par définition). Le gradient du potentiel pointe dans la direction de croissance du potentiel : le potentiel coulombien varie en effet en 1/r plus r est petit, plus le potentiel est grand. Le champ quant à lui est donc dirigé vers les valeurs décroissante du potentiel.


Équations de Poisson et Laplace

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#equations-poisson-laplace

Nous allons développer ici les équations de Poisson et Laplace, dans le domaine électrostatique (les équations de Poisson et Laplace sont en fait génériques : elles sont utilisées dans bien d'autres domaines de la physique).

Ces deux équations relient les variables que sont le potentiel électrique V et la densité volumique de charge électrique ρ. L'équation de Laplace est ici un cas particulier de l'équation de Poisson, en l'occurrence l'absence de charge électrique (ce qui est le cas dans le vide) de sorte que ρ = 0 (PS : les travaux de Laplace sont antérieurs à ceux de Poisson, qui généralisera les travaux de Laplace en la matière).

Nous allons voir ici comment Poisson a exprimé la forme locale de la loi de Gauss
. E = 1/ε0 * ρ  (207) ...
où :
ε0 (constante) est la permittivité du vide  (193)
ρ (variable) est la densité volumique de charge  (198)

... en fonction du potentiel électrique V, cela en exploitant E = - ∇V  (249).

Le développement est assez simple. Par (207) et (206) (la divergence est la somme des dérivées partielles) :
. E = 1/ε0 * ρ = ∂Ex / ∂x + ∂Ey / ∂y + ∂Ez / ∂z

Or d'une part, (249) et (80) donnent que :
E = - ∂V/∂x * 1x - ∂V/∂y * 1y - ∂V/∂z * 1z
Et d'autre part, par (45) :
E = Ex * 1x + Ey * 1y + Ez * 1z
⇒ Ex = - ∂V/∂x ; idem pour y et z
⇒ ∂Ex / ∂x = - ∂2Vx / ∂x2 ; idem pour y et z

(251) donnne :
. E = 1/ε0 * ρ = - ∂2Vx / ∂x2 - ∂2Vy / ∂y2 - ∂2Vz / ∂z2
soit l'équation de Poisson :
- 1/ε0 * ρ = ∂2Vx / ∂x2 + ∂2Vy / ∂y2 + ∂2Vz / ∂z2
qui exprime donc la divergence en terme de potentiel.

Opérateur

On aurait développer plus simplement, en faisant appel à la notion d'opérateur, en l'occurrence , opérateur différentiel vectoriel. Il s'agit tout simplement de substituer :
E = - ∇V  (249)
dans :
. E = 1/ε0 * ρ  (207)

. ∇V = - 1/ε0 * ρ   ⇒
Nabla (∇) étant un opérateur vectoriel, on peut lui appliquer toutes les opérations de l'algèbre vectoriel ⇒
. ∇ * V = - 1/ε0 * ρ

N.d.A. Donc, si je comprends bien, cela induit que l'on peut considérer que le gradient de V est équivalent au produit du nabla et de V : V ≡ ∇ * V, et que par conséquent ∂v/∂x = ∂/∂x * V... Soit, mais comment intégrer cela avec la définition de la dérivée (68) ?

Occupons-nous alors du produit scalaire de nabla par lui-même, qui par (48) vaut :
. ∇ = ∂2 / ∂x2 + ∂2 / ∂y2 + ∂2 / ∂z2

On peut voir le membre de droite de cette égalité comme un opérateur, cette fois scalaire. Par conséquent l'égalité précédant celle-ci-dessus devient :
( ∂2 / ∂x2 + ∂2 / ∂y2 + ∂2 / ∂z2 ) * V = - 1/ε0 * ρ   ⇒
( ∂2 * V / ∂x2 + ∂2 * V / ∂y2 + ∂2 * V / ∂z2 ) = - 1/ε0 * ρ   ⇒
2V / ∂x2 + ∂2V / ∂y2 + ∂2V / ∂z2 = - 1/ε0 * ρ
N.d.A. Ce passage me pose vraiment problème...
soit à nouveau l'équation de Poisson.

Notons que l'opérateur :
. ∇ = ∂2 / ∂x2 + ∂2 / ∂y2 + ∂2 / ∂z2
est appelé "laplacien". Il est malheureusement noté Δ, ce qui peut prêter à confusion car il ne doit pas être confondu avec le signe de différentielle.

Idéalement le laplacien pourrait être noté || ∇|| 2 en vertu de (49), mais cette notation est rejetée par les scientifiques en raison de sa lourdeur. N.d.A. : le fait de choisir une notation en fonction de sa simplicité plutôt qu'en fonction de sa non ambiguïté confirme que les scientifiques ne font pas nécessairement de bon pédagogues.

Le terme "laplacien" se justifie par le cas particulier que Laplace avait posé, soit celui du vide, pour lequel l'équation de Poisson devient :
0 = ∂2Vx / ∂x2 + ∂2Vy / ∂y2 + ∂2Vz / ∂z2  ⇒
l'équation de Laplace :
0 = ΔV
ce qui, si je comprends bien, devrait, étant donné notre système de notation de l'opérateur de multiplication (cf. supra #fractions), être ici noté : 0 = Δ * V, ce qui par ailleurs lève l'ambiguïté par rapport au signe de différentielle (il s'agit bien ici d'un opérateur). Je vais néanmoins appliquer la notation de Clipedia.

La forme courte de l'équation de Poisson est donc :
ΔV = - ρ / ε0
où l'on notera que les unité du laplacien ne sont pas les unités du potentiel, mais 1 sur des longueurs au carré ⇒ les unités permettent d'interpréter le signe Δ.

laplace.jpg

Pour interpréter le sens des flèches, relire #algebre-electricite.

L'équation de Laplace ΔV = 0 (254) n'est valable que dans le vide. Le graphique ci-contre illustre le cas d'un système de charges discrètes. L'équation de Laplace étant de nature locale, elle s'applique à tout point de cette illustration, à l'exception des zones de distribution de charges (cercles rouge et bleu), pour lesquelles c'est alors l'équation de Poisson ΔV = - ρ / ε0 (255) qui décrit la situation.

laplace2.jpg

De même c'est l'équation de Poisson qu'il faut appliquer pour calculer la distribution de potentiel, dans l'exemple illustré ci-contre, d'un faisceau de charge positives (protons). En l'occurrence il s'agit donc de calculer les dérivées secondes du potentiel, en fonction de la densité volumique de charge ρ caractérisant cette distribution.

geometrie-derivee-seconde.jpg

Rappelons la signification géométrique du signe de la dérivée seconde :

  • f '' > 0 : la pente est croissante en tout point la courbe est au dessus de la tangente en ce point ;
  • f '' < 0 : la pente est décroissante en tout point la courbe est en dessous de la tangente en ce point ;
  • f '' = 0 correspond au point d'inflexion, qui est tel que d'un côté la courbe est supérieur à la tangente en ce point, tandis que de l'autre côté elle est inférieure.

L'interprétation de l'équation de Laplace 2Vx / ∂x2 + ∂2Vy / ∂y2 + ∂2Vz / ∂z2 = 0 est un peu plus complexe à interpréter géométriquement : les courbures de variations du potentiel dans les trois directions de l'espace se combinent de telle sorte que la somme des trois dérivées secondes vaut zéro.

laplace-illustration.jpg

Nous allons illustrer cela en reprenant le cas du dipôle, mais en considérant que les charge ponctuelles sont deux cylindres vus en coupe : dans le repère cartésien l'axe Z sort hors du plan XY (cf. la pointe de flèche "⊙" à l'intersection des axes X et Y), et les cylindres sont de longueur infinie. Donc rien ne varie en z ⇒ si la charge ne varie pas en z alors le potentiel non plus ⇒ les dérivées en z sont nulles ⇒ 2Vx / ∂x2 + ∂2Vy / ∂y2 = 0. L'interprétation algébrique devient alors plus intuitive : les courbures en x et y sont opposées : si en se déplaçant dans la direction x on a une courbure du potentiel positive, alors la courbure du déplacement en y est nécessairement négative.

L'interprétation géométrique correspondante est illustrée par le graphe ci-dessous de la distribution de potentiel des deux cylindres de charges opposées. On y constate bien qu'en chaque point d'un déplacement le long d'une courbe en x (c-à-d parallèlement à l'axe X) correspond un courbe de signe opposé en y. Là où il n'y a pas de charges, c-à-d dans le vide, on aura toujours cette relation des courbures du potentiel.

laplace-illustration-2.jpg

Ci-dessous, un second exemple représentant le graphe d'une fonction V(x,y) = a * x * y

laplace-illustration-3.jpg

Les dérivées secondes en x et y sont clairement toutes deux nulles. Les courbures ont-elles pour autant disparu, de sorte que le graphe serait plat ? Non, évidemment. Ainsi si l'on se déplace sur la bissectrice x=y on obtient une fonction V(x,y) = a * x2 soit une dépendance parabolique. En chaque point de cette bissectrice, sur la surface, on a bien une courbure positive ainsi que, dans la direction orthogonale, une courbure négative. La valeur nulle du Laplacien exprime donc que, dans le vide, toute courbure du potentiel dans une direction est composée par une courbure de signe opposé, dans la direction orthogonale.

Cette surface bleue est dite "doublement réglée" : pour une même valeur d'une des deux variables, l'autre se déplace sur la surface le long d'une droite. Ainsi la pente d'une droite parallèle à l'axe X augmente avec la valeur correspondante de y (considérée comme constante, par rapport aux valeurs de la droite en X), et de même la pente d'une droite parallèle à l'axe Y augmente avec la valeur correspondante de x.

Illustrons maintenant l'équation de Poisson ΔV = - ρ / ε0 (255) par le faisceau de protons évoqué plus haut. Il est caractérisé par une densité volumique de charges électriques (en l'occurrence, positives), soit ρ.

protontherapie.jpg

Ce type de faisceau est utilisé notamment dans la "protonthérapie" pour détruire des cellules cancéreuses tout en préservant les cellules environnantes. Le faisceau de proton présente l'avantage d'une précision beaucoup plus grande qu'avec les techniques habituelles des rayons gamma ou X.

laplace3.jpg

Cette précision est cependant limitée. Nous allons le montrer (sommairement) au moyen de l'équation de Poisson, et en supposant que le faisceau de protons est cylindrique. On le décrit dans un repère cartésien, l'axe Z correspondant à celui du déplacement des protons. Dans cette condition, si l'on suppose que le faisceau ne s'élargit pas, on peut alors supposer que tout est invariant en z (densité et donc aussi potentiel), de sorte que
2Vx / ∂x2 + ∂2Vy / ∂y2 + ∂2Vz / ∂z2 = - ρ / ε0
devient :
2Vx / ∂x2 + ∂2Vy / ∂y2 = - ρ / ε0

Cependant dans la réalité le faisceau s'élargit, mais on peut réconcilier la formulation ci-dessus avec la réalité de l'élargissement, par le fait que, en raison de l'extrême étroitesse du cylindre, on peut supposer que les variations en z correspondant à l'élargissement sont très petites relativement aux variations en x et y.

laplace4.jpg

Dans ces conditions on constate que le graphe de ρ(x) est en cloche (mesure le long d'une parallèle à l'axe X), et ses valeurs sont positives (puisqu'il s'agit de protons). Il en est de même pour y étant donné la symétrie du système. Or le membre de droite de (256) étant négatif, il en résulte que c'est également le cas du membre de gauche. Et comme la symétrie du système implique que x et y sont de même signe, il en résulte que ce membre de droite est négatif. La courbure du potentiel est donc négative.

Et en vertu de EP = q * V  (229) c'est également le cas de l'énergie potentielle. Par conséquent un proton situé sur l'axe central du cylindre aura une énergie potentielle maximale. Baignant dans cette énergie potentielle à courbure négative et générée par l'ensemble des protons auquel il appartient, son énergie ne peut donc faire que diminuer : un proton situé près de l'axe central aura une tendance naturelle à s'en éloigner. Ce faisant il acquiert de l'énergie cinétique de sorte que le flux des protons dans ce faisceau va s'élargir, et donc aussi la densité de charge. Ce phénomène est appelé "auto-potentiel" : les protons sont pris dans le potentiel qu'ils génèrent eux-mêmes, et s'éloignent donc du centre du faisceau.

C'est pourquoi les systèmes de protonthérapie sont équipés de lentilles magnétiques, qui permettent de focaliser le faisceau, malgré l'élargissement naturel du faisceau causée par le phénomène d'auto-potentiel.

Une explication alternative au développement ci-dessus pourrait reposer sur la distribution du champs électrique, représenté par les flèches jaunes, orientées vers l'extérieur : le champs "tire" les protons vers l'extérieur. Cependant le champs électrique étant une grandeur vectorielle, pour analyser ce genre de phénomène (faisceau de charges), le calcul est beaucoup plus simple s'il porte plutôt sur la grandeur scalaire qu'est le potentiel, et cela au moyen de l'équation de Poisson (l'alternative consistant à construire le champs étant nettement plus complexe).

Ce calcul est d'autant plus facile grâce au calcul informatique (alors qu'à l'époque de Poisson seule la méthode analytique était disponible), et en particulier la formule dite de discrétisation de la dérivée seconde, qui permet d'approcher la valeur des dérivées secondes :
calcul-poisson-1.jpg
et d'ainsi transformer l'équation de Poisson en un simple système d'équations algébriques :
calcul-poisson-2.jpg
... auquel on peut appliquer un algorithme très simple, qui permet de résoudre l'équation de Poisson pour une densité donnée.

On peut donc mesurer facilement le phénomène d'élargissement du faisceau des protons. Mais l'équation de Poisson peut être appliquée dans d'autres domaines de la physique, sous des formes spécifiques :

  • gravitation : ΔΦ = f où :
    Φ : potentiel gravitationnel ;
    f : distribution de masses, proportionnelle à la masse volumique de l'objet étudié ;
    ⇒ on peut par exemple calculer le potentiel gravitationnel au sein du soleil, et ainsi mieux comprendre le comportement des étoiles.
  • Physique des fluides : Δp = - div( u . ∇u ) où :
    Δp : laplacien de la distribution de pressions ;
    - div( u . ∇u) : champs de vitesses, c-à-d de la vitesse d'écoulement du fluide.

Ondes gravitationnelles

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#ondes-gravitationnelles

N.B. Cette section concerne une matière qui ne relève plus de la culture générale, mais de la recherche avancée. Il n'est donc pas attendu du lecteur qu'il comprenne toutes les équations mentionnées.

triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : Les ondes gravitationnelles
ondes-gravitationnelles.gif

L'animation ci-contre illustre deux étoiles à neutrons (corps célestes dont la masse volumique est extraordinairement élevée, de l'ordre de mille milliards de tonnes par litre) qui s'étant rapprochées se sont ainsi mises en orbite autour l'une de l'autre. Ces mouvements orbitaux entraînent d'infimes ondulations, dites "ondes gravitationnelles".

La force de gravitation est la force d'attraction exercée l'une sur l'autre par deux masse M et m séparée par une distance r : FN = G * M * m / r 2 (226)

On notera la similitude de cette formule avec FC = kC * q1 * q1 / r 2 (178), décrivant la force électrique entre deux corps chargés électriquement.

Différences. La force électrique est d'un ordre de grandeur nettement plus élevé que la force gravitationnelle : FC / FN = 4,17 * 10 42 [source]. Autre différence : la force électrique peut être répulsive.

La variable d'écart r étant au dénominateur et au carré, il en résulte que ces forces diminuent exponentiellement lorsque la distance augmente.

Champ
électromagnétique

De la notion de force on passe à celle de champ gravitationnel, modélisant l'influence exercée par un corps autour de lui.

transport-energie.gif

Dans la section consacrée à la forme vectoriel de la force électrique (180) nous avions évoqué, via la notion de vecteur radial, le fait que si l'on déplace l'un des deux corps autour de l'autre le vecteur partant du corps immobile décrit le cercle correspondant.

La propagation de cette influence d'un corps vers l'autre ne se fait pas instantanément. Il résulte de la nature spatio-temporelle de la dynamique des forces que la propagation génère une onde (électrique, gravitationnelle). Cette onde transmet un mouvement : dans l'animation suivante celui de la main est transmis à celui de la boule rouge.

onde-corde.gif

Ce sont des principes similaires qui sont appliqués dans la communication par antennes radios dipolaires (... sauf que dans le cas des ondes électromagnétiques, il ne semble pas y avoir de médiation physique (notion d'interaction "à distance").

antenne-dipole.gif

Une antenne est un fil de cuivre le long duquel les électrons se déplacent en aller-retours sous l'action de sources de tensions variables, et ce faisant provoquent une onde électrique.

L'animation suivante montre que lorsqu'un corps se déplace, le champ électromagnétique qui lui est associé n'est pas déplacé en bloc mais de proche en proche.

equations-maxwell.png

Dans la section #Gauss-electricite nous avions évoqué le système d'équations de Maxwell (exprimées ci-contre dans une forme différente).

Il résulte de ce système l'équation d'onde électromagnétique ΔE - 1 / c 2 * ∂ 2E / ∂t 2 = 0
ΔE est l'opérateur laplacien (253) du champ E ;
c est la vitesse de la lumière, indiquant que les ondes électromagnétiques se propagent à la vitesse de la lumière.

Champ
gravitationnel

En réalisant un travail comparable à ceux de Maxwell sur les ondes électromagnétique, mais appliqué cette fois aux ondes gravitationnelles, Einstein a formulé théoriquement en 1916 l'existence d'ondes gravitationnelles sous la forme d'un système d'équations plus nombreuses et complexes, dont : Gμν ≡ Rμν - 1/2 * R * gμν = 8 * π * G / c 4 * Tμν

• Gμν est le tenseur métrique du champ gravitationnel, exprimant le fait que la gravitation est une courbure de l'espace-temps ;
• T contient la masse du corps générant le champ gravitationnel.

courbure-espace-temps.png

Le plan du graphique ci-contre représente une version simplifiée en deux dimensions de notre espace à trois dimensions, l'axe vertical représentant alors le temps (quatrième dimension). La modification de l'espace-temps par la masse de la sphère prend la forme de la courbure de l'espace représenté ici en deux dimensions ...

On notera que l'équation d'onde graviationnelle dérivée par Einstein à partir de son système d'équation est similaire à l'équation d'onde électromagnétique de Maxwell : Δhαβ - 1 / c 2 * ∂ 2 hαβ / ∂t 2 = 0

Δhαβ est le laplacien du tenseur qui est la solution de l'équation ;
c est la vitesse de la lumière, indiquant que les ondes gravitationnelles se propagent aussi à la vitesse de la lumière.

solution-equation-onde-gravitationnelle.png

Mais il est beaucoup plus difficile de vérifier expérimentalement l'existence des ondes gravitationnelles que celles des ondes électromagnétiques, en raison de l'ordre de grandeur nettement inférieur de la force gravitationnelle. Il faut donc être en mesure d'effectuer la mesure sur des masses d'ordres de grandeur tels que les étoiles à neutron illustrée dans l'animation au début de cette section, ou encore des trous noirs.

La vidéo suivante montre que la notion de courbure de l'espace-temps à proximité d'un corps de masse non nulle permet d'expliquer le mouvement orbital.

Optique

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#optique
 1. La lumière
 2. Loi de Snell-Descartes
 3. Captation d'image
 4. Lentille convergente
 5. Relation de conjugaison des lentilles
 6. Lentille divergente
 7. La vision

La lumière

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#lumiere
triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : Qu’est-ce que la lumière ?

Sans forme, sans masse, qu'est-ce donc que la lumière ? Au 19° siècle Maxwell, a développé un modèle mathématique ("équations de Maxwell" ou encore "équations de l'électrodynamique") décrivant la lumière comme une onde électromagnétique plane, c-à-d l'association d'un champ électrique sinusoïdal, exprimé en volts par mètre (V/m), et d'un champ magnétique ,de même période, exprimé en ampères par mètre (A/m). Les ondes électromagnétiques sont donc la manifestation d’une interaction à distance, mais « retardée » (c-à-d non instantanée).

Équations de Maxwell et champ électromagnétique

onde-electromagnetique.png

E : champ électrique ; B : champ magnétique. Nous avons étudié en détail la première de ces équations (207) : ici le membre de droite est nul car la masse est nulle ⇒ ρ=0.

N.d.A. Champ électrique vs magnétique. Un champ électrique existe par la seule présence d'une charge immobile (absence de courant, appareil électrique éteint), et lié à la tension (mesurée en V/m). Le champ est dit magnétique dans le cas de charges en mouvement (courant, appareil électrique allumé), et lié à l'intensité (mesurée en Ampères/m).

Nous allons traiter ici uniquement du champ électrique. Celui-ci est l’expression d’une interaction à distance entre charges électriques (la force électrique). Par définition chaque charge électrique génère un #champ-electrique.

champs-atome.jpg

Deux champs sont exercés sur la charge de droite :
• le champ du proton, extraverti;
• le champ du nuage électronique, extraverti.

Supposons donc une charge positive, par exemple un proton (noyau de l'atome d'hydrogène). Ainsi le champ électrique exprime l'influence à distance que le proton exerce dans son espace environnant, le champ électrique s'exprimant par une force sur toute autre charge située dans le champ. Remplaçons le proton par un atome d'hydrogène c-à-d ajoutons-lui son nuage d'électron. Celui-ci étant de charge négative son champ est orienté vers le noyau, et comme la charge du noyau vaut celle du nuage en valeur absolue, toute charge dans l'environnement de l'atome subit donc une force nulle. Cela est du moins le cas en situation dite d'équilibre ou de repos ...

atome-vibration-2.gif

Avec l'oscillation de l'atome vibrant, les deux champs ne se compensent plus ⇒ l'oscillation de l'atome se répercute dans le champ dipolaire.

Mais si l'on déstabilise l'atome, par exemple en le chauffant, de sorte que son environnement s'agite ⇒ l'atome subit des chocs ⇒ il se met à vibrer. ⇒ cette vibration est répercutée sur le champ électrique ⇒ sur les charges qui y sont situées. Ainsi un atome dans un état asymétrique (c-à-d déformé en raison d’une perturbation extérieure) peut générer une force électrique (un champ électrique) sur une charge située dans son environnement (N.d.A. : la situation moyenne de l'atome oscillant est celle de l'atome au repos).

Ce que Maxwell a découvert est que cette interaction dynamique n'est pas instantanée : la vibration met un certain temps à se propager (cf. le δt dans les équations de Maxwell supra) : plus la charge est éloignée du proton, plus il faut de temps pour que la vibration l'atteigne. Maxwell montre en outre que la vitesse de propagation de cette vibration, c-à-d de cette onde, est celle de la lumière, soit environ 300.000 km/s.

radiation-electromagnetique-2.gif

Le sommet de la vague se propage à la vitesse de la lumière. NB : dans cette animation il est fait abstraction de la diminution du module du champ avec la distance.

Cette non-instantanéité de l'interaction électrique est donc directement liée à la formation des ondes électromagnétiques : celle-ci sont ainsi vues comme la simple manifestation d’une interaction à distance, variable et retardée.

Sens de
la vue

Le sens de la vue (la perception de la lumière) résulte de l’interaction électrique à distance entre des atomes de notre environnement et les molécules photosensibles de la rétine. Lorsque l'onde atteint la rétine qui se trouve au fond de l'oeil, elle transmet la vibration aux charges électriques constituant les atomes des cellules de la rétine.

oeil-antenne.jpg

N.d.A. La relation entre l'oeil et l'objet regardé, est très semblable à la relation entre antennes réceptrice et émettrice.

Ces cellules opèrent alors une réaction électrochimique générant un signal sur le nerf oculaire. Ce signal est alors conduit à la région du cerveau traitant les signaux visuels, sur base desquels le cerveau va former une image, en l'occurrence un point lumineux (N.B. Le graphique ci-dessous montre que le cerveau doit intervenir pour rétablir le bon sens de l'image inversée qui est captée par la rétine recouvrant la paroi intérieure du globe oculaire. Ce phénomène de croisement des rayons lumineux au niveau de la pupille sera approfondi plus loin, lorsque nous étudierons les lentilles).

vision-inversion.jpg

Un corps (ici une flamme) est composé de points, et il en est de même pour son image.

La notion d'onde électromagnétique doit être interprétée avec prudence : rien ne vient "frapper" la rétine ! Il ne s'agit pas d'une onde de déplacement (comme sur un corde), mais seulement de la distribution de la valeur du champ le long du rayon. La notion d'onde n'est que l'expression de la propagation, c-à-d de la non instantanéité, de l'interaction. Or si l'interaction était instantanée, il n'y a pas de raison pour qu'elle n'opère pas. Par conséquent la notion d'onde n'est pas nécessaire pour expliquer le phénomène lumineux ! La seule oscillation du champ électrique au niveau de la rétine suffit à elle seule à provoquer la vision. On ne s'étonnera donc pas de constater que la lumière est invisible ...

triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : La lumière est invisible

Nous avons vu que le champ électrique et le champ magnétique sont des concepts théoriques abstraits (cf. #champ-electrique) qui ne peuvent aucunement se voir dans la mesure où ils ne diffusent pas la lumière. La lumière est donc invisible, tout comme le champ magnétique qui attire une épingle sur un aimant. Pour bien comprendre cela il est utile de définir ce que signifie "être visible" ou encore "voir". Être visible signifie "réfléchir" la lumière. Or un corps ne peut réfléchir la lumière que s'il est composé de matière. Si la lumière est invisible c'est parce qu'elle n'est pas de la matière. Elle ne peut donc ni réfléchir d'autres rayons, ni "frapper" la rétine.

Ainsi les rayons lasers que l'on croit "voir" (par exemple dans les boîtes de nuit) ne sont que des particules en suspension dans l'air (gouttelettes d'eau, poussières, ...), qui réfléchissent la lumière propagée par la source lumineuse : les charges électriques qui composent les atomes de ces particules sont mises en oscillation par le rayon laser, de sorte qu'elle vont réfléchir le rayon laser ⇒ certains des rayons réfléchis vont aller dans la direction de l'oeil de l'observateur. C'est le même phénomène que l'on observe lorsque les rayons du soleil traversent des nuages ou pénètrent dans un sous-bois humide (mais la couleur observée est bien celle de la lumière qui éclaire). Ainsi si la lumière était visible nous ne verrions rien d’autre que la lumière elle-même car elle masquerait les objets qui nous entourent.

Loi de Snell-Descartes

https://clipedia-txt.net/action-a-distance#snell-descartes
triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : Les lentilles : introduction
lentille-spherique.png

Une lentille sphérique convergente a la forme d'une intersection de deux sphères (NB : l'image ci-contre ne donne qu'une vue en deux dimensions). L’axe qui passe par les centres des sphères est appelé "axe optique" de la lentille.

Une lentille sphérique est caractérisée par l'indice de réfraction (n spécifique au matériau constituant la lentille), par son épaisseur et par les rayons de courbure de ses faces (c.-à-d. les rayons de chacune des deux sphères). S’ils ont la même valeur (R) la lentille est dite "symétrique".

snell-descartes.jpg

On caractérise la déviation d'un rayon passant au travers d'un dioptre (ici air-verre) relativement à la normale (c-à-d la perpendiculaire) au point d'entrée sur la lentille. Le matériau de la lentille est caractérisé par son indice de réfraction n (n(verre) = 1,5, n(vide) = 1) tel que l'angle réfracté θr est différent de l'angle incident θi. La loi de la réfraction, ou loi de Snell-Descartes nous dit que :
sin(θr) = sin(θi) / n
NB : dès lors que n > 1 ⇒ θr < θi

La partie droite de l'image ci-dessus montre que si les faces d'entrée et de sortie d'un dioptre sont parallèles, la réfraction (déviation) est nulle. La partie gauche de l'image montre que la courbure de la lentille a pour effet de réfracter (dévier) des rayons parallèles, en les concentrant. Ce n'est que pour le seul rayon confondu avec l'axe de la lentille que la réfraction est nulle. Plus on s'écarte de cet axe, plus l'inclinaison de la lentille est élevé par rapport à cet axe ⇒ plus la réfraction est élevée.

Focalisation

Une lentille sphérique (symétrique ou non) induit donc un effet de focalisation des rayons qui la traversent. Cette focalisation est telle que les rayons incidents parallèles à l'axe optique sont réfractés en convergeant vers un même point de l'axe optique, appelé "foyer" de la lentille. Et plus généralement, les rayons seulement parallèles entre eux se croisent dans le "plan focal" de la lentille, plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par le foyer.

plan-focal.png

NB1 : cette illustration pourrait correspondre au cas de deux étoiles, dont l'une est dans la ligne de l'axe optique (rayon parallèles à l'axe optique), et l'autre se trouve à côté de la première (⇒ rayon non parallèles à l'axe optique). NB2 : cette illustration 2D ne montre pas la troisième dimension de la réfraction, à savoir que même les rayons (parallèles) sortant du plan de l'illustration se croisent en un même point du plan focal.

La distance f entre le foyer et l'axe la lentille est appelé "distance focale". Celle-ci dépend des caractéristiques de la lentille : la courbure des rayons (déterminée par R) et l'indice de réfraction (n) du matériau composant la lentille. On peut montrer que la relation entre ces trois grandeurs peut être approchée par :
f ≈ R / 2 * ( n - 1 )
NB : n(verre) ≈ 1,5  ⇒  R = f

lentille-mince.jpg

Loi des
lentilles
minces

Cette approximation (258) n'est cependant valable que pour une lentille sphérique suffisamment mince, c’est-à-dire dont les centres des sphères qui la dessinent ne sont pas trop proches. Plus précisément, l'épaisseur et le diamètre de la lentille doivent être petits relativement aux deux rayons de courbure (c-à-d les rayons R1 et R2 des deux sphères qui la dessinent).

refraction-zone.jpg

En effet, pour des lentilles trop larges relativement aux rayons de courbure, la concentration des rayons n'est plus ponctuelle, mais répartie sur une zone de réfraction (N.d.A : on comprend déjà ici intuitivement une possible cause d'image floutée). Plus un rayon lumineux est éloigné de l'axe optique, plus tôt il coupe celui-ci, par rapport aux rayons moins éloignés de l'axe optique, qui lui sont pourtant parallèles.

Nous étudions ici le cas des lentilles minces, dont les deux propriétés principales sont donc :

  • des rayons parallèles (entre eux, c-à-d pas nécessairement parallèles à l'axe optique) se croisent en un même point du plan focal 
  • un rayon d'angle d'incidence quelconque passant par le centre de la lentille n'est pas dévié.
    deviation-translation.jpg

    N.B. Il n'y a pas de déviation angulaire, mais il y a cependant une déviation de translation (N.d.A. : sauf pour le rayon confondu avec l'axe optique). Dans le cas d'une lentille mince cette déviation de translation est négligeable. Notons à cet égard que l'on modélise graphiquement une lentille mince par un simple double flèche (), de sorte que la double réfraction du biface est simplifiée en une réfraction unique.

regle-refraction.gif

Règle de
réfraction

Dans le cadre des lentilles minces, ont peut alors appliquer les deux propriétés énoncées supra, pour déduire le trajet de n'importe quel rayon réfracté par la lentille qu'il a traversée : il suffit de tracer sa parallèle passant par le centre de la lentille ⇒ son intersection avec le plan focal détermine le point focal, par lequel passe aussi le rayon dont on a pris la parallèle.

refraction-reversible.jpg

Réversibilité
de la réfraction

La symétrie du phénomène étudié ici implique que dans tous ces raisonnements on peut inverser le sens de propagation de la lumière. Pour s'en rendre compte il suffit d'étudier le cas particulier d'un rayon d'angle d'incidence quelconque, mais dont la réfraction est parallèle à l'axe optique. Le graphique ci-contre montre par construction géométrique que le point où ce rayon croise l'axe optique avant de passer par la lentille, doit être situé à une distance égale à la distance focale.

Captation d'image

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Qu'est ce qui fait, d'un point de vue physique, que l'on voit un objet ? (l'explication biologique sera développée plus loin). Nous allons montrer que la lentille permet de former une image, pouvant alors être imprimée sur une surface photosensible (rétine de l'oeil ou film d'un appareil photo). Mais pour cela il faut d'abord comprendre ce qui se passe avant que la lentille capte les rayons lumineux réfléchis dans sa direction.

diffusion-surface.jpg

Alors que la surface d'un tuyau de cuivre apparaît à l'oeil nu comme parfaitement lisse, ce n'est plus du tout le cas lorsque l'observation est faite au moyen d'un microscope électronique (cf. photo ci-contre). En raison de ces multiples aspérités, c-à-d angles d'incidences, les rayons lumineux sont réfléchis dans toutes sortes de directions, phénomène appelé "diffusion".

La lumière du soleil est ici représentée en jaune, mais en réalité la couleur des rayons solaires est blanche, ce qui signifie qu'elle comprend toutes les longueurs d'onde lumineuses (c-à-d toutes les couleurs de l'arc en ciel). Or, à l'instar des autres matériaux, le cuivre ne réfléchit pas de la même manière chacune de ces longueurs d'onde : en l'occurrence il réfléchit principalement les couleurs rouges orangées (les autres étant absorbées par le cuivre) : c'est ce qui fait sa couleur.

Mais comment peut-on voir la forme et les couleurs d'un objet ? On peut démontrer mathématiquement, qu'en raison des deux propriétés (*) des rayons réfractés par une lentille mince (celle constituée par l'ensemble "cornée+cristallin" de l'oeil, ou celle d'un appareil photo), tous les rayons diffusés par un même point, puis passant par cette lentille, convergent en un même point.

(*) Cf. supra : (i) des rayons parallèles se croisent en un même point du plan focal ; (ii) un rayon passant par le centre de la lentille n'est pas dévié.

lentille-image.jpg

PS : nous verrons plus loin que si l'objet est éloigné de la lentille par une distance supérieure à la distance focale, la convergence a lieu vers la droite de la lentille, et inversement.

Il apparaît ainsi que la lentille a pour effet de reproduire une image de chacun des points de l'objet diffusant la lumière du soleil (N.d.A. : il s'agit donc d'une image en 3D). Par conséquent, si à l'endroit de cette image se trouve une surface photosensible, alors l'image pourra y être "imprimée" c-à-d "enregistrée".

On comprend alors la problématique, dite de "mise au point", résultant du fait que l'image de l'objet est en 3D, alors que la surface photosensible est en 2D. La mise au point consiste à placer cette surface au niveau des points de l'image (foyers image) que l'on souhaite y imprimer avec le plus de précision (les autres points ne seront pas nets, mais floutés). En pratique c'est la distance entre la surface photosensible et la lentille qui est ajustée.

modele-optique-oeil.jpg

Dans le cas de l'enregistrement d'images par l'oeil :

  • rétine : surface photosensible ;
  • cornée + cristallin : lentille ;
  • cristallin : permet d'ajuster la distance focale via la courbure du cristallin.

Dans le graphique ci-dessus, la pupille est le trou au milieu de l'iris. L'ensemble cornée+cristallin forme un système à deux lentilles, celle du cristallin étant adaptative grâce à sa compression par des muscles situés au-dessus et en-dessous.

Lentille convergente

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triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : La loupe

Comme chaque point de l'objet diffuse de nombreux rayons lumineux, ceux qui arrivent dans la pupille de l'oeil sont divergents (sauf si le point objet est situé à l'infini, dans lequel cas les rayons qu'ils diffusent peuvent être considérés comme parallèles). Par conséquent, sans adaptation de l'oeil, ces rayons imprimeraient sur la rétine une tache lumineuse ⇔ ce point serait "flouté". Pour que les rayons soient concentrés sur un même point (foyer image) de la rétine, les muscles du cristallin se contractent pour le comprimer ⇒ accentuer son rayon de courbure ⇒ faire converger les rayons. Cependant la faculté d'ajustement du cristallin n'est évidemment pas infinie : au repos il est conçu pour induire une convergence optimale de rayons incidents parallèles, ce qui est approximativement le cas des points situés suffisamment loin de l'oeil. Il existe une distance appelée "punctum proximum" (notée p) en-deçà de laquelle un objet ne pourra pas être vu net, car le cristallin est à son maximum de contraction. Sa valeur est de 10 à 50 cm pour l'humain, selon l'âge, et avec lequel elle augmente (myopie).

Or pour voir un objet plus grand, l'oeil doit s'en rapprocher. Mais que faire s'il à déjà atteint la distance p ? Réponse : utiliser une lentille convergente, aussi appelée "loupe" !

Nous allons voir qu'une lentille convergente est telle que les rayons lumineux diffusés par un même point de l'objet, sont réfractés par la lentille de sorte que la convergence a lieu :

  • vers la droite de la lentille (⇒ formation d'une image réelle, renversée) si l'objet est éloigné de la lentille par une distance supérieure à la distance focale  ;
  • vers la gauche de la lentille (⇒ formation d'une image virtuelle, non renversée) si l'objet est éloigné de la lentille par une distance inférieure à la distance focale (cas de la loupe).

L'illustration ci-dessous illustre ce second cas (et en outre l'observateur est positionné à la distance p de cette image virtuelle, ce qui signifie image net et cristallin contracté au maximum). L'image virtuelle est plus grande ... mais aussi plus éloignée que l'objet ⇒ son impression sur la rétine est-elle plus grande avec la loupe ? La réponse est affirmative, et l'illustration en montre la raison : la loupe a pour effet d'augmenter l'angle de vision (NB : celui-ci correspond à la pente de la réfraction du rayon incident parallèle à l'axe optique).

loupe-1.jpg

Or, étant donné que cet angle est inchangé par la position de l'objet, sa taille sur la rétine serait inchangée si on le modifiait sa position ... sauf que :

  • si rapprochement ⇒ l'image ne serait plus nette puisqu'on serait alors en-dessous du p ;
  • si éloignement ⇒ le cristallin pourrait être relâché puisqu'on serait alors au-delà du p.

NB : cette absence d'effet d'une modification de la distance sur la taille de l'image est du au cas particulier de l'illustration supra, qui est telle que la pupille est placée juste au niveau du foyer.

Qu'en est-il de la position particulière telle que l'objet est situé à distance focale de la loupe ? Nous avons vu que les rayons diffusés par un point situé à distance focale de la lentille sont réfractés par elle en rayons parallèles. Par conséquent l'image virtuelle est située à l'infini (et y est infiniment grande ... pour une taille inchangée sur la rétine).

loupe-2.jpg
loupe-support.jpg

Or nous avons vu également que le cristallin est conçu pour être au repos lorsque les rayons lumineux qui le traversent sont parallèles entre eux. C'est là que réside l'intérêt de la loupe : situer le plan image au-delà du punctum proximum. Ainsi la position idéale d'une loupe est à distance focale de son support d'observation.

On appelle facteur de grossissement d'une loupe le rapport :
G = "angle de vision avec loupe" / "angle de vision sans loupe"     ⇔
G = ( h / f ) / ( h / p )     ⇔
G = p / f
Ainsi une personne âgée dont p=50cm doit utiliser une loupe de focale f=5cm pour augmenter par dix la taille de l'objet observé.

NB : la distance focale f est une grandeur physique, tandis que le "punctum proximum" p est une grandeur biologique.

Enfin qu'en est-il si l'objet est placé à une distance supérieure à la distance focale de la lentille ? Dans ce cas il y a convergence vers la droite de la lentille, et donc formation d'une image réelle. Si celle-ci se situe entre le cristallin et la rétine ou après la rétine ⇒ son impression sur la rétine est floue car à un point de convergence correspondent plusieurs sur la rétine (cette situation est équivalente à la myopie, qui peut être corrigée par des lentilles divergentes).

loupe-3.jpg

Relation de conjugaison des lentilles

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Loi des lentilles. Soient les indices i pour "image" et o pour "objet", dans le graphique cartésien suivant, les couples de triangles équivalents montrent que :
yi / yo = xi / xo (formule du grandissement)
yi / yo = - ( xi - f ) / f

xi / xo = - xi / f + 1    ⇔
1 / xo = - 1 / f + 1 / xi    ⇔
1 / xi - 1 / xo = 1 / f (relation de conjugaison)

Il s'agit de la conjugaison (taille et distance) entre points objet et image, qui sont dits "conjugués".

loi-optique-1.png

Quelques valeurs remarquables de la relation de conjugaison (et dont les valeurs son facilement vérifiables géométriquement) :

  • si  do = f  alors  di = ∞ : un objet dans le plan focal de la lentille a son image àl’infini ;
  • si  do < f  alors  di < 0 : cohérent avec le fait que (puisque do<f) la convergence se fait vers la gauche de la lentille (image virtuelle) ;
  • si  do = di  alors  do = di = 2 * f et l’image a la même taille que l’objet.

    Si la distance séparant l'objet de la lentille est supérieure à 2*f, son image réfléchie par la lentille sera réduite, et inversement, tendra jusqu'à l'égalité au fur et à mesure que la distance objet (do) se rapprochera de 2f.

  • si  do = ∞  alors  di = f : un objet à l’infini a son image dans le plan focal ;

loi-optique-2.png

Lentille divergente

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triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : Les lentilles divergentes
Lentille
divergente

La lentille sphérique divergente est plus épaisse en ses bords qu'en son centre, contrairement à la lentille convergente. La distance focale d'une lentille divergente est négative, et son foyer est virtuel car déterminé par la prolongation virtuelle des rayons et non par les rayons eux-mêmes.

Plan focal image d'une lentille

plan-focal-image.png

Notez l'inversion des flèches de l'axe vertical

Rappel. La notion de foyer correspond à des rayons incidents parallèles. Le foyer image (réel ou virtuel) est donc toujours l’image (réelle ou virtuelle) d’un point à l’infini sur l’axe optique. Enfin la distance focale f est définie comme la valeur de l’abscisse (x) du foyer image.

photo-lentille-divergente.png

Le schéma suivant montre pourquoi l'image produite est plus petite que l'objet. Le lecteur pourra y vérifier facilement la cohérence avec la relation de conjugaison (261).

Il explique également l'effet d'optique illustré par la photo ci-contre : le foyer image est devant la lentille et l'image réduite se situe entre celle-ci et le foyer.

lentille-divergente.png

Par le même type de construction géométrique on pourra facilement vérifier que si xo = f < 0 alors xi = f / 2, et que ce résultat est cohérent avec la formule de grandissement (260).

Retour inverse. Si de la lumière est renvoyée sur elle-même, elle parcourt exactement le même rayon lumineux en sens contraire, y compris lorsqu’elle subit une réfraction. Cette propriété est la propriété de "retour inverse" de la lumière. Cette propriété est caractérisée par la notion de "foyer objet", dont le plan focal objet est symétrique au plan focal image c-à-d situé à une distance -f du centre de la lentille.

retour-inverse.png

Le graphique ci-dessus montre que les rayons lumineux qui proviennent d’un point du plan focal objet d’une lentille (convergente ou divergente) en ressortent sous forme d’un faisceau de rayon parallèles entre eux. L’image de ce point se trouve à l’infini. Si la lentille est divergente, un tel objet doit être virtuel (non démontré ici).

Le tableau suivant synthétise les propriétés des lentilles divergentes et convergentes.

Lentille
convergente
Lentille
divergente
foyer imageréel (après)virtuel (avant)
foyer objetréel (avant)virtuel (après)
distance focalepositivenégative
Avant/après est déterminé par rapport au sens de la lumière. Notez les symétries verticale et horizontale de ce tableau.

La vision

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triangle-clipedia.png Vidéo Clipedia : La vision

Cette vidéo illustre les sections précédentes en expliquant le phénomène biologique de la vision (du seul point de vue de la physique, ainsi notamment les aspects neurologiques ne sont pas traités). C'est une excellente liaison avec le chapitre consacré à la biologie ...

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Une publication de François Jortay

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